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facile Exercice corrigé

Nombres complexes - Forme algébrique

Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :

$a=\left(1+i\right)^{2}$
$b=\frac{1+i}{1-i}$
$c=\frac{1}{1+i}-\frac{1}{1-i}$

Corrigé

$a=\left(1+i\right)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i$
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
$b=\frac{1+i}{1-i}=\frac{\left(1+i\right)^{2}}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}=\frac{2i}{1-i^{2}}=\frac{2i}{1+1}=i$

c=\frac{1}{1+i}-\frac{1}{1-i}=\frac{1-i}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}-\frac{1+i}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}=\frac{1-i}{1+1}-\frac{1+i}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i

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