Suites et matrices
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- Calculer les premiers termes d'une suite matricielle
- Écrire un système de suites couplées sous forme matricielle
- Déterminer le terme général d'une suite U(n+1) = AU(n) + C
- Construire la matrice de transition d'une chaîne de Markov
- Calculer la distribution à l'étape n d'une chaîne de Markov
- Déterminer la distribution invariante d'une chaîne de Markov
1 - Suites de matrices colonnes
Définition
Une suite de matrices colonnes est une suite $ \left(U_n\right) $ dont chaque terme $ U_n $ est une matrice colonne de taille $ p\times 1 $ (le nombre $ p $ de lignes ne dépend pas de $ n $).
Lorsque $ p = 2 $, on note souvent $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $ où $ \left(u_n\right) $ et $ \left(v_n\right) $ sont deux suites numériques.
Exemple
Soit $ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $ et $ U_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $.
On définit la suite $ \left(U_n\right) $ par la relation $ U_{n+1} = A\,U_n $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $.
Alors :
$ U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times 2 + (-1)\times 1 \\ 0\times 2 + 2\times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $.
$ U_2 = A\,U_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} $.
Terme général d'une suite de la forme U_{n+1} = AU_n
Soit $ A $ une matrice carrée d'ordre $ p $ et $ U_0 $ une matrice colonne à $ p $ lignes.
Si la suite $ \left(U_n\right) $ vérifie $ U_{n+1} = A\,U_n $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $, alors :
Remarque
La démonstration se fait par récurrence sur $ n $. L'initialisation utilise la convention $ A^0 = I_p $.
Exemple
Soit $ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $ et $ U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $.
La matrice $ A $ étant diagonale, le calcul de $ A^n $ est immédiat :
D'où, pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :
2 - Suites couplées et écriture matricielle
Mise sous forme matricielle d'un système couplé
Soient $ \left(u_n\right) $ et $ \left(v_n\right) $ deux suites numériques vérifiant le système couplé :
En posant $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $ et $ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $, le système se réécrit :
D'après la propriété précédente, on obtient alors $ U_n = A^n\,U_0 $.
Exemple
On considère les deux suites $ \left(u_n\right) $ et $ \left(v_n\right) $ définies par $ u_0 = 1 $, $ v_0 = 0 $ et :
En posant $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $ et $ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $, on a $ U_{n+1} = A\,U_n $.
Alors :
$ U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $, donc $ u_1 = 2 $ et $ v_1 = 1 $.
$ U_2 = A\,U_1 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} $, donc $ u_2 = 3 $ et $ v_2 = 3 $.
L'écriture matricielle ramène l'étude conjointe des deux suites au calcul des puissances d'une seule matrice.
3 - Suites de la forme U_{n+1} = AU_n + C
Terme général dans le cas affine
Soit $ A $ une matrice carrée d'ordre $ p $, $ C $ une matrice colonne à $ p $ lignes, et $ \left(U_n\right) $ une suite de matrices colonnes vérifiant :
On suppose qu'il existe une matrice colonne $ L $ vérifiant $ L = A\,L + C $ ($ L $ est appelée point fixe de la relation).
En posant $ V_n = U_n - L $, la suite $ \left(V_n\right) $ vérifie alors $ V_{n+1} = A\,V_n $, donc $ V_n = A^n\,V_0 $.
On en déduit l'expression du terme général :
Remarque
Le point fixe $ L $ est solution du système matriciel $ \left(I_p - A\right)L = C $. Il existe et est unique lorsque la matrice $ I_p - A $ est inversible.
Exemple
On définit la suite $ \left(U_n\right) $ par $ U_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ et $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ avec :
Recherche du point fixe $ L = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ vérifiant $ L = A\,L + C $ :
$ \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{1}{2}x + 1 \\ y = \dfrac{1}{3}y + 2 \end{matrix}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}x = 1 \\ \dfrac{2}{3}y = 2 \end{matrix}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \end{matrix}\right. $
D'où $ L = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $.
Calcul du terme général. On pose $ V_n = U_n - L $. Alors $ V_0 = U_0 - L = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} $ et $ V_{n+1} = A\,V_n $.
La matrice $ A $ étant diagonale, $ A^n = \begin{pmatrix} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \end{pmatrix} $, donc :
$ V_n = A^n\,V_0 = \begin{pmatrix} -2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\ -3\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \end{pmatrix} $.
Finalement :
On observe en particulier que $ U_n $ converge vers $ L $ lorsque $ n \to +\infty $.
4 - Chaînes de Markov à 2 ou 3 états
Définition
Une chaîne de Markov à $ p $ états est une suite d'expériences aléatoires dont chaque résultat appartient à un ensemble fini $ \left\{E_1, E_2, \dots, E_p\right\} $ d'états, et dont l'état à l'étape $ n+1 $ ne dépend que de l'état à l'étape $ n $ (et non des étapes antérieures).
Matrice de transition
La matrice de transition $ P $ d'une chaîne de Markov à $ p $ états est la matrice carrée d'ordre $ p $ dont le coefficient $ p_{ij} $ est la probabilité de passer de l'état $ E_i $ à l'état $ E_j $ en une étape.
La somme des coefficients de chaque ligne de $ P $ est égale à $ 1 $.
Exemple
On modélise les déplacements quotidiens d'une personne entre deux villes $ A $ et $ B $ : chaque jour, si elle est en $ A $, elle reste en $ A $ avec une probabilité $ 0{,}7 $ et part en $ B $ avec une probabilité $ 0{,}3 $ ; si elle est en $ B $, elle reste en $ B $ avec une probabilité $ 0{,}6 $ et part en $ A $ avec une probabilité $ 0{,}4 $.
Le graphe pondéré associé à cette chaîne de Markov est le suivant :
La matrice de transition est :
(la ligne $ i $ correspond à l'état de départ, la colonne $ j $ à l'état d'arrivée).
On vérifie que la somme de chaque ligne vaut bien $ 1 $.
Distribution
On appelle distribution (ou état probabiliste) à l'étape $ n $ la matrice ligne $ X_n = \begin{pmatrix} p_n^{(1)} & p_n^{(2)} & \cdots & p_n^{(p)} \end{pmatrix} $ où $ p_n^{(i)} $ désigne la probabilité d'être dans l'état $ E_i $ à l'étape $ n $.
La distribution $ X_0 $ est appelée distribution initiale. La somme des coefficients d'une distribution est toujours égale à $ 1 $.
Évolution d'une distribution
Soit $ P $ la matrice de transition d'une chaîne de Markov et $ X_n $ la distribution à l'étape $ n $. Alors :
De plus, pour tout entier $ n \geqslant 0 $, le coefficient $ \left(i, j\right) $ de la matrice $ P^n $ représente la probabilité de passer de l'état $ E_i $ à l'état $ E_j $ en exactement $ n $ étapes.
Exemple
On reprend la situation de l'exemple précédent avec $ P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} $.
On suppose qu'au jour $ 0 $, la personne est en ville $ A $ : la distribution initiale est $ X_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} $.
Distribution au jour 1.
$ X_1 = X_0\,P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix} $.
Au jour $ 1 $, la personne a une probabilité $ 0{,}7 $ d'être en $ A $ et $ 0{,}3 $ d'être en $ B $.
Distribution au jour 2.
$ X_2 = X_1\,P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} $.
On calcule chaque coefficient :
$ 0{,}7 \times 0{,}7 + 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}49 + 0{,}12 = 0{,}61 $.
$ 0{,}7 \times 0{,}3 + 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}21 + 0{,}18 = 0{,}39 $.
D'où $ X_2 = \begin{pmatrix} 0{,}61 & 0{,}39 \end{pmatrix} $.
5 - Distribution invariante
Définition
Une distribution $ X $ est dite invariante (ou stationnaire) pour la matrice de transition $ P $ lorsque :
Recherche d'une distribution invariante
Pour déterminer une distribution invariante $ X = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_p \end{pmatrix} $, on résout le système composé :
- des équations issues de l'égalité matricielle $ X\,P = X $ ;
- de la condition $ a_1 + a_2 + \cdots + a_p = 1 $.
Exemple
On reprend $ P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} $ et on cherche une distribution invariante $ X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} $.
L'égalité $ X\,P = X $ se traduit par :
$ \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} $
soit :
$ \left\{\begin{matrix} 0{,}7\,a + 0{,}4\,b = a \\ 0{,}3\,a + 0{,}6\,b = b \end{matrix}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} -0{,}3\,a + 0{,}4\,b = 0 \\ 0{,}3\,a - 0{,}4\,b = 0 \end{matrix}\right. $
Les deux équations sont équivalentes : on obtient $ 0{,}3\,a = 0{,}4\,b $, c'est-à-dire $ b = \dfrac{3}{4}a $.
En ajoutant la condition $ a + b = 1 $ :
$ a + \dfrac{3}{4}a = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{7}{4}a = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a = \dfrac{4}{7} $.
D'où $ b = \dfrac{3}{7} $ et :
Remarque
Pour de nombreuses chaînes de Markov (notamment lorsque tous les coefficients de $ P $ sont strictement positifs), la suite des distributions $ \left(X_n\right) $ converge vers une distribution invariante $ X $, et cette limite ne dépend pas de la distribution initiale $ X_0 $.
Sur l'exemple précédent, quelle que soit la ville où démarre la personne, la probabilité d'être en $ A $ après un grand nombre de jours tend vers $ \dfrac{4}{7} $ et celle d'être en $ B $ vers $ \dfrac{3}{7} $.
Les questions essentielles
1. Comment calculer les premiers termes d'une suite définie par $ U_{n+1} = A\,U_n $ ?
On part du vecteur initial $ U_0 $ et on applique le produit matriciel $ U_1 = A\,U_0 $, puis $ U_2 = A\,U_1 $, etc. Chaque coefficient de $ U_{n+1} $ s'obtient par produit ligne par colonne. Toujours réutiliser le terme précédent, pas $ U_0 $.
Voir la fiche méthode : Calculer les premiers termes d'une suite matricielle
2. Comment passer d'un système couplé à une écriture matricielle ?
On range les coefficients devant $ u_n $ et $ v_n $ ligne par ligne dans une matrice $ A $, puis on pose $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $. Le système se réécrit alors $ U_{n+1} = A\,U_n $, ce qui ramène l'étude des deux suites au calcul des puissances de $ A $.
Voir la fiche méthode : Écrire un système de suites couplées sous forme matricielle
3. Comment trouver le terme général d'une suite matricielle de la forme $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ ?
On cherche le point fixe $ L $ vérifiant $ L = A\,L + C $, on pose $ V_n = U_n - L $ qui vérifie $ V_{n+1} = A\,V_n $, donc $ V_n = A^n\,V_0 $, et on conclut par $ U_n = A^n\left(U_0 - L\right) + L $.
Voir la fiche méthode : Déterminer le terme général d'une suite U(n+1) = AU(n) + C
4. Comment construire la matrice de transition d'une chaîne de Markov ?
On fixe l'ordre des états, puis on lit pour chaque état de départ $ E_i $ la probabilité $ p_{ij} $ de passer à l'état $ E_j $ : ce coefficient se place ligne $ i $, colonne $ j $. La somme de chaque ligne doit valoir $ 1 $.
Voir la fiche méthode : Construire la matrice de transition d'une chaîne de Markov
5. Comment calculer la distribution à l'étape $ n $ ?
Pour un $ n $ petit, on itère $ X_{n+1} = X_n\,P $ à partir de la distribution initiale $ X_0 $. Pour un $ n $ quelconque, on utilise $ X_n = X_0\,P^n $ après avoir calculé $ P^n $.
Voir la fiche méthode : Calculer la distribution à l'étape n d'une chaîne de Markov
6. Comment déterminer la distribution invariante d'une chaîne de Markov ?
On résout le système matriciel $ X\,P = X $ (qui fournit des équations linéaires entre les coefficients de $ X $), auquel on ajoute la condition de normalisation $ a_1 + a_2 + \cdots + a_p = 1 $ pour assurer l'unicité de la solution.
Voir la fiche méthode : Déterminer la distribution invariante d'une chaîne de Markov