Calculer les premiers termes d’une suite matricielle
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Soit $ \left(U_n\right) $ une suite de matrices colonnes définie par $ U_0 $ donnée et la relation $ U_{n+1} = A\,U_n $, où $ A $ est une matrice carrée.
Pour calculer les premiers termes :
- Étape 1 : repérer la matrice $ A $, le vecteur initial $ U_0 $ et identifier les tailles compatibles.
- Étape 2 : calculer $ U_1 = A\,U_0 $ en appliquant la définition du produit d'une matrice par une colonne (chaque coefficient de $ U_1 $ est obtenu par produit ligne par colonne).
- Étape 3 : itérer : $ U_2 = A\,U_1 $, $ U_3 = A\,U_2 $, etc., en réutilisant le terme précédent (et non $ U_0 $).
Remarque
Pour calculer $ U_n $ avec $ n $ petit, l'itération directe est plus rapide que de calculer la puissance $ A^n $ puis de la multiplier par $ U_0 $. En revanche, pour un $ n $ quelconque, on cherche plutôt une formule générale via $ U_n = A^n\,U_0 $.
Suite couplée à deux états
On considère $ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $ et $ U_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $, avec $ U_{n+1} = A\,U_n $.
Étape 1 : $ A $ est carrée d'ordre $ 2 $, $ U_0 $ a $ 2 $ lignes, donc le produit $ A\,U_0 $ est bien défini.
Étape 2 : calcul de $ U_1 = A\,U_0 $.
Étape 3 : calcul de $ U_2 = A\,U_1 $.
Puis $ U_3 = A\,U_2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \end{pmatrix} $.
Lecture des termes des suites $ \left(u_n\right) $ et $ \left(v_n\right) $
On pose $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $, $ A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}9 \end{pmatrix} $ et $ U_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix} $, avec $ U_{n+1} = A\,U_n $.
Étape 2 : calcul de $ U_1 $.
Donc $ u_1 = 85 $ et $ v_1 = 65 $.
Étape 3 : calcul de $ U_2 = A\,U_1 $.
D'où $ u_2 = 74{,}5 $ et $ v_2 = 75{,}5 $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- multiplier $ A $ par $ U_0 $ pour calculer $ U_2 $ au lieu d'utiliser $ U_1 $ : il faut toujours partir du terme précédent ;
- inverser l'ordre du produit et écrire $ U_{n+1} = U_n \times A $ : avec une matrice colonne à droite, c'est $ A\,U_n $ qui a un sens ;
- oublier qu'un terme $ U_n $ est une matrice colonne et écrire $ U_n = (u_n, v_n) $ sans l'écriture matricielle.