Résoudre une équation du second degré dans ℂ
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Pour résoudre dans $ \mathbb{C} $ une équation du type $ az^{2}+bz+c=0 $ (avec $ a $, $ b $, $ c $ réels et $ a\neq 0 $) :
- Étape 1 : Identifier les coefficients $ a $, $ b $ et $ c $.
- Étape 2 : Calculer le discriminant $ \Delta=b^{2}-4ac $.
Étape 3 : Selon le signe de $ \Delta $ :
- Si $ \Delta>0 $ : deux racines réelles $ z_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} $.
- Si $ \Delta=0 $ : une racine réelle double $ z_{0}=\dfrac{-b}{2a} $.
- Si $ \Delta<0 $ : deux racines complexes conjuguées $ z_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} $.
- Étape 4 : Conclure en donnant l'ensemble des solutions $ \mathcal{S} $.
Discriminant strictement négatif
Résoudre dans $ \mathbb{C} $ : $ z^{2}+2z+5=0 $.
Étape 1 : On a $ a=1 $, $ b=2 $ et $ c=5 $.
Étape 2 : Calcul du discriminant :
$ \Delta=2^{2}-4\times 1\times 5=4-20=\color{red}{-16}\color{black} $
Étape 3 : $ \Delta<0 $ donc l'équation possède deux racines complexes conjuguées.
On a $ \sqrt{-\Delta}=\sqrt{16}=4 $, donc :
$ z_{1}=\dfrac{-2-4i}{2}=-1-2i \quad \text{et}\quad z_{2}=\dfrac{-2+4i}{2}=-1+2i $
Étape 4 : L'ensemble des solutions est :
Équation avec coefficients à simplifier
Résoudre dans $ \mathbb{C} $ : $ 2z^{2}-2z+1=0 $.
Étape 1 : On a $ a=2 $, $ b=-2 $ et $ c=1 $.
Étape 2 : Calcul du discriminant :
$ \Delta=\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 1=4-8=\color{red}{-4}\color{black} $
Étape 3 : $ \Delta<0 $, donc deux racines complexes conjuguées avec $ \sqrt{-\Delta}=2 $ :
$ z_{1}=\dfrac{2-2i}{4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i \quad \text{et}\quad z_{2}=\dfrac{2+2i}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i $
Étape 4 : L'ensemble des solutions est :
Remarque
Quand $ \Delta<0 $, les deux racines sont conjuguées l'une de l'autre. Ce résultat est général : si un polynôme à coefficients réels admet une racine complexe non réelle $ z_{0} $, alors $ \overline{z_{0}} $ est aussi racine.
Attention
La formule à coefficients réels $ z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} $ ne fonctionne que si $ a $, $ b $ et $ c $ sont réels. Pour une équation à coefficients complexes, il faut chercher $ \delta $ tel que $ \delta^{2}=\Delta $ par identification : c'est un prolongement possible du chapitre (les racines carrées d'un nombre complexe et l'équation du second degré à coefficients complexes figurent parmi les problèmes possibles du programme).
Ne jamais écrire $ \sqrt{\Delta} $ quand $ \Delta<0 $ : c'est $ i\sqrt{-\Delta} $ qu'il faut utiliser.