Déterminer l’inverse d’une matrice carrée d’ordre 2
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Pour déterminer si une matrice carrée d'ordre $ 2 $ est inversible et calculer son inverse :
- Étape 1 : pour $ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $, calculer le nombre $ \Delta = ad - bc $ (appelé déterminant de $ A $).
Étape 2 : si $ \Delta = 0 $, la matrice $ A $ n'est pas inversible. Si $ \Delta \neq 0 $, elle est inversible et :
$ A^{-1} = \dfrac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $- Étape 3 : vérifier le résultat en calculant $ A \times A^{-1} $ et en s'assurant qu'on obtient bien $ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $.
Remarque
Pour les matrices d'ordre $ 3 $ ou plus, il existe des techniques équivalentes (méthode du pivot, comatrice…) mais en Terminale on utilise la calculatrice (instruction matrix(A)^-1). La vérification par $ A \times A^{-1} = I_n $ reste alors le moyen sûr de confirmer le résultat.
Calcul d'un inverse par la formule
On considère $ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : on calcule le déterminant.
Étape 2 : $ \Delta = 1 \neq 0 $, donc $ A $ est inversible et :
Étape 3 : vérification.
On obtient bien $ I_2 $ : la matrice $ A^{-1} $ est correcte.
Cas d'une matrice non inversible
On considère $ B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : on calcule le déterminant.
Étape 2 : $ \Delta = 0 $, donc la matrice $ B $ n'est pas inversible. Il n'existe aucune matrice $ B' $ telle que $ B \times B' = I_2 $.
Inverse avec déterminant non entier
On considère $ C = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} $.
Étape 1 : $ \Delta = 4 \times 4 - 6 \times 2 = 16 - 12 = 4 $.
Étape 2 : $ \Delta = 4 \neq 0 $, donc $ C $ est inversible.
Étape 3 : on vérifie en calculant $ C \times C^{-1} $ :
L'inverse est correct.
Attention
Erreurs fréquentes :
- oublier le signe moins devant $ b $ et $ c $ dans la formule (l'inverse n'est pas $ \dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix} $) ;
- intervertir les positions de $ a $ et $ d $ : ce sont les coefficients diagonaux qui sont échangés, les autres coefficients sont opposés ;
- oublier de diviser par $ \Delta $ : l'inverse n'est complet qu'avec le facteur $ \dfrac{1}{\Delta} $ ;
- conclure trop vite à l'inversibilité sans vérifier que $ \Delta \neq 0 $.