Exercice corrigéDans le plan complexe, déterminer l’ensemble \left(E\right) des points M d’affixe z tels que :
| z+1 |=| z-i |
Corrigé
1 – Méthode algébrique
On pose z=x+iy.
Alors :
z+1=x+1+iy
| z+1 |= \sqrt{\left(x+1\right)^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+2x+1+y^{2}}
z-i=x+i\left(y-1\right)
| z-i |=\sqrt{x^{2}+\left(y-1\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2y+1}
L’égalité | z+1 |=| z-i | est donc équivalente à :
\sqrt{x^{2}+2x+1+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2y+1}
x^{2}+2x+1+y^{2}=x^{2}+y^{2}-2y+1
A noter
Pour des nombres a et b positifs : a=b \color{red}{\Leftrightarrow } a^{2}=b^{2}
Ce n’est plus vrai pour des nombres de signes quelconques où l’on a seulement : a=b \color{red}{\Rightarrow } a^{2}=b^{2}
x^{2}+2x+1+y^{2}-x^{2}-y^{2}+2y-1=0
x+y=0
L’ensemble \left(E\right) est la droite d’équation x+y=0
2 – Méthode géométrique
| z+1 |=| z-\left(-1\right)| est de la forme | z-a |. Cela peut donc s’interpréter comme la distance entre les points M d’affixe z et A d’affixe -1.
De même | z-i | représente la distance entre les points M d’affixe z et B d’affixe i.
L’égalité | z+1 |=| z-i | signifie donc que M\left(z\right) est équidistant de A\left(-1\right) et de B\left(i\right).
Rappel
L’ensemble des points équidistants de A et de B est la médiatrice de \left[AB\right]
L’ensemble \left(E\right) est donc la médiatrice de \left[AB\right]
