Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle
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Pour mettre $ z=a+ib $ (non nul) sous forme trigonométrique $ z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right) $ ou exponentielle $ z=re^{i\theta} $ :
- Étape 1 : Calculer le module $ r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $.
Étape 2 : Factoriser $ z $ par $ r $ :
$ z=r\left(\dfrac{a}{r}+i\dfrac{b}{r}\right) $- Étape 3 : Identifier $ \theta $ tel que $ \cos\theta=\dfrac{a}{r} $ et $ \sin\theta=\dfrac{b}{r} $ (angle remarquable).
Étape 4 : Conclure :
$ z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=re^{i\theta} $
Forme trigonométrique de $ z=\sqrt{3}+i $
Étape 1 : Module :
$ |z|=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2 $
Étape 2 : Factorisation :
$ z=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right) $
Étape 3 : On cherche $ \theta $ tel que $ \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin\theta=\dfrac{1}{2} $.
On reconnaît $ \theta=\dfrac{\pi}{6} $.
Étape 4 : On obtient les deux formes :
Forme exponentielle de $ z=-1+i $
Étape 1 : Module :
$ |z|=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} $
Étape 2 : Factorisation :
$ z=\sqrt{2}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\right) $
Étape 3 : On cherche $ \theta $ tel que $ \cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ et $ \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $.
Le cosinus est négatif et le sinus positif : $ \theta=\dfrac{3\pi}{4} $.
Étape 4 : On obtient :
Remarque
La forme exponentielle se déduit immédiatement de la forme trigonométrique grâce à la définition $ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta $. Les deux écritures sont équivalentes : on peut directement passer de l'une à l'autre.
Pour un complexe de module $ 1 $ (comme $ z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i $), on a directement $ z=e^{i\theta} $ sans factorisation préalable.
Attention
- La forme trigonométrique exige que le facteur devant la parenthèse soit le module, donc un nombre positif. Une écriture comme $ -3\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) $ n'est pas une forme trigonométrique. Il faut transformer en : $ 3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right)\right)=3\left(\cos\dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right) $.
- L'écriture $ z=r\left(\cos\theta-i\sin\theta\right) $ n'est pas une forme trigonométrique : c'est la forme trigonométrique du conjugué $ \overline{z}=r\left(\cos\left(-\theta\right)+i\sin\left(-\theta\right)\right) $.