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Graphes Entraînement

QCM : Chaines de Markov

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Ce QCM porte sur les chaînes de Markov : matrice de transition, lecture d'un graphe probabiliste, évolution d'une distribution et état stable. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Question 1 :

Parmi les matrices suivantes, laquelle peut être la matrice de transition d'une chaîne de Markov à deux états ?

  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}6 \\ 0{,}7 & 0{,}4 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$
  • (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1{,}2 & -0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$
Question 2 :

Une entreprise répartit ses clients chaque mois entre deux offres $A$ et $B$. Les transitions d'un mois au suivant sont décrites par le graphe probabiliste ci-dessous (états classés dans l'ordre $A$, $B$).

Graphe probabiliste à deux états A et B avec boucles et arcs pondérés par les probabilités de transition

Quelle est la matrice de transition $P$ associée à ce graphe ?

  • (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$
Question 3 :

On reprend la matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ précédente. Au mois $0$, tous les clients ont choisi l'offre $A$, donc $\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$. Quelle est la distribution $\pi_1$ au mois suivant ?

  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \end{pmatrix}$
  • (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$
Question 4 :

Avec la même matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ et $\pi_1 = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$, quelle est la distribution $\pi_2$ au mois suivant ?

  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}49 & 0{,}09 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}55 & 0{,}45 \end{pmatrix}$
  • (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}61 & 0{,}39 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}39 & 0{,}61 \end{pmatrix}$
Question 5 :

Une chaîne de Markov à deux états a pour matrice de transition $P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$. Quel est son état stable $\pi = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ ?

  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$
  • (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$
  • (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}$
Question 6 :

Dans le chapitre, on rencontre la matrice de transition d'une chaîne de Markov et la matrice d'adjacence d'un graphe. Quelle affirmation les distingue correctement ?

  • (Incorrect) Ce sont deux noms différents pour le même objet.
  • (Incorrect) La matrice de transition compte des arêtes, la matrice d'adjacence contient des probabilités.
  • (Correct) La matrice de transition contient des probabilités, avec une somme de $1$ sur chaque ligne ; la matrice d'adjacence contient des entiers qui comptent des arêtes ou des arcs.
  • (Incorrect) Les deux ont des coefficients dont chaque ligne a pour somme $1$.