Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Graphes Exercices

Chaine de Markov : evolution d’abonnements

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectif travaillé

Une plateforme de streaming étudie la fidélité de son public mois après mois. Chaque utilisateur est dans l'un des deux états suivants : abonné (état $A$) ou non-abonné (état $N$). Les relevés du service marketing établissent que, d'un mois au suivant :

  • un abonné conserve son abonnement avec la probabilité $0{,}85$ et le résilie avec la probabilité $0{,}15$ ;
  • un non-abonné souscrit un abonnement avec la probabilité $0{,}20$ et reste non-abonné avec la probabilité $0{,}80$.

On modélise la situation par une chaîne de Markov à deux états $A$ et $N$. Pour tout entier naturel $n$, on note $\pi_n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ la distribution de probabilité au mois $n$, où $a_n$ (respectivement $b_n$) est la probabilité qu'un utilisateur choisi au hasard soit abonné (respectivement non-abonné) au mois $n$.

Au lancement de l'offre (mois $0$), un utilisateur sur trois est déjà abonné : on prend $\pi_0 = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$.

    1. Représenter cette chaîne de Markov par un graphe probabiliste.
    2. Donner la matrice de transition $P$ en classant les états dans l'ordre $A$, $N$, et vérifier qu'elle est stochastique.
    1. Calculer $\pi_1$.
    2. Calculer $\pi_2$, puis $\pi_3$.
    3. Interpréter l'évolution de la proportion d'abonnés au cours de ces trois mois.
  3. On garde la même matrice $P$ mais on suppose maintenant qu'au mois $0$, tous les utilisateurs sont abonnés : $\pi'_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $\pi'_1$, $\pi'_2$ et $\pi'_3$, puis comparer cette évolution à celle de la question 2.

Corrigé

Question 1

a. Chaque flèche porte la probabilité de passer d'un état à l'autre d'un mois sur le suivant ; les boucles correspondent au maintien dans l'état.

Graphe probabiliste a deux etats A (abonne) et N (non-abonne) avec boucles et arcs portant les probabilites de transition

b. En classant les états dans l'ordre $A$, $N$, on reporte chaque probabilité dans la case correspondante : la ligne $i$ décrit le devenir de l'état $i$.

$P = \begin{pmatrix} 0{,}85 & 0{,}15 \\ 0{,}20 & 0{,}80 \end{pmatrix}$

Tous les coefficients sont compris entre $0$ et $1$ et la somme de chaque ligne vaut $1$ : $0{,}85 + 0{,}15 = 1$ et $0{,}20 + 0{,}80 = 1$. La matrice $P$ est donc stochastique.

Question 2

a. On calcule $\pi_1 = \pi_0 \times P$ :

$\pi_1 = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}85 & 0{,}15 \\ 0{,}20 & 0{,}80 \end{pmatrix}$

Le détail du produit ligne par colonne donne $0{,}3 \times 0{,}85 + 0{,}7 \times 0{,}20 = 0{,}255 + 0{,}14 = 0{,}395$ pour l'état $A$, et $0{,}3 \times 0{,}15 + 0{,}7 \times 0{,}80 = 0{,}045 + 0{,}56 = 0{,}605$ pour l'état $N$.

$\mathbf{\pi_1 = \begin{pmatrix} 0{,}395 & 0{,}605 \end{pmatrix}}$

b. On enchaîne $\pi_2 = \pi_1 \times P$ :

$a_2 = 0{,}395 \times 0{,}85 + 0{,}605 \times 0{,}20 = 0{,}335\,75 + 0{,}121 = 0{,}456\,75$
$b_2 = 0{,}395 \times 0{,}15 + 0{,}605 \times 0{,}80 = 0{,}059\,25 + 0{,}484 = 0{,}543\,25$

$\mathbf{\pi_2 = \begin{pmatrix} 0{,}456\,75 & 0{,}543\,25 \end{pmatrix}}$

Puis $\pi_3 = \pi_2 \times P$ :

$a_3 = 0{,}456\,75 \times 0{,}85 + 0{,}543\,25 \times 0{,}20 = 0{,}388\,237\,5 + 0{,}108\,65 = 0{,}496\,887\,5$
$b_3 = 0{,}456\,75 \times 0{,}15 + 0{,}543\,25 \times 0{,}80 = 0{,}068\,512\,5 + 0{,}434\,6 = 0{,}503\,112\,5$

Arrondi au millième : $\mathbf{\pi_3 \approx \begin{pmatrix} 0{,}497 & 0{,}503 \end{pmatrix}}$.

c. La proportion d'abonnés passe de $0{,}3$ au mois $0$ à $0{,}395$, puis $0{,}457$ et enfin environ $0{,}497$ au mois $3$. Elle augmente régulièrement et se rapproche de $0{,}5$. La plateforme gagne donc des abonnés mois après mois, mais la progression ralentit : les gains successifs ($+0{,}095$, puis $+0{,}062$, puis $+0{,}040$) diminuent, ce qui suggère une stabilisation à venir.

Question 3

On part cette fois de $\pi'_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$. La première étape est simplement la première ligne de $P$ :

$\pi'_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} P = \begin{pmatrix} 0{,}85 & 0{,}15 \end{pmatrix}$

Ensuite $\pi'_2 = \pi'_1 \times P$ :

$0{,}85 \times 0{,}85 + 0{,}15 \times 0{,}20 = 0{,}722\,5 + 0{,}03 = 0{,}752\,5$
$0{,}85 \times 0{,}15 + 0{,}15 \times 0{,}80 = 0{,}127\,5 + 0{,}12 = 0{,}247\,5$

soit $\pi'_2 = \begin{pmatrix} 0{,}752\,5 & 0{,}247\,5 \end{pmatrix}$. Enfin $\pi'_3 = \pi'_2 \times P$ :

$0{,}752\,5 \times 0{,}85 + 0{,}247\,5 \times 0{,}20 = 0{,}639\,625 + 0{,}049\,5 = 0{,}689\,125$
$0{,}752\,5 \times 0{,}15 + 0{,}247\,5 \times 0{,}80 = 0{,}112\,875 + 0{,}198 = 0{,}310\,875$

Arrondi au millième : $\mathbf{\pi'_3 \approx \begin{pmatrix} 0{,}689 & 0{,}311 \end{pmatrix}}$.

Ici la proportion d'abonnés part de $1$ et diminue ($1 \to 0{,}85 \to 0{,}752\,5 \to 0{,}689$), alors qu'à la question 2 elle partait de $0{,}3$ et augmentait. Les deux suites évoluent en sens contraire mais se rapprochent l'une de l'autre : au mois $3$, on a environ $0{,}497$ d'un côté et $0{,}689$ de l'autre, et l'écart se réduit à chaque mois. Quelle que soit la répartition de départ, la chaîne tend vers une même répartition d'équilibre, proche de $\begin{pmatrix} 0{,}571 & 0{,}429 \end{pmatrix}$ (soit $\tfrac{4}{7}$ d'abonnés et $\tfrac{3}{7}$ de non-abonnés).