QCM : Théorème de Gauss
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Ce QCM porte sur le théorème de Gauss et ses applications à la divisibilité. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Le théorème de Gauss s'énonce ainsi : si $a$ divise $bc$ et si...
- (Incorrect) $a < bc$, alors $a$ divise $c$.
- (Correct) $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.
- (Incorrect) $a$ et $c$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $b$.
- (Incorrect) $a$ et $bc$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $1$.
Question 2 : On sait que $7$ divise le produit $12k$. Quelle hypothèse supplémentaire permet, par le théorème de Gauss, de conclure que $7$ divise $k$ ?
- (Incorrect) $7 < 12$.
- (Correct) $7$ et $12$ sont premiers entre eux.
- (Incorrect) $7$ divise $k$.
- (Incorrect) $12$ et $k$ sont premiers entre eux.
Question 3 : Soit $n$ un entier divisible par $4$ et par $9$. Que peut-on en déduire ?
- (Incorrect) $n$ est divisible par $13$.
- (Incorrect) $n$ est divisible par $36$ uniquement si $n$ est positif.
- (Correct) $n$ est divisible par $36$.
- (Incorrect) $n$ est divisible par $4 + 9 = 13$.
Question 4 : On considère l'égalité $5m = 3n$ avec $m$ et $n$ entiers naturels. Que peut-on en déduire ?
- (Incorrect) $m$ est nécessairement multiple de $3$ uniquement.
- (Incorrect) $n$ est nécessairement multiple de $5$ uniquement.
- (Correct) $m$ est multiple de $3$ et $n$ est multiple de $5$.
- (Incorrect) $m$ et $n$ sont nécessairement égaux.
Question 5 : Pourquoi l'argument suivant est-il incorrect : « $90$ est divisible par $6$ et par $10$, donc $90$ est divisible par $6 \times 10 = 60$ » ?
- (Incorrect) Parce que $6$ et $10$ ne divisent pas $90$.
- (Correct) Parce que $6$ et $10$ ne sont pas premiers entre eux.
- (Incorrect) Parce que $6 \times 10 \neq 60$.
- (Incorrect) Parce que la propriété ne s'applique qu'aux entiers premiers.
Question 6 : On suppose que $a$ divise $bc$ et que $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux. Que peut-on dire de la divisibilité de $c$ par $a$ ?
- (Incorrect) $a$ divise toujours $c$.
- (Incorrect) $a$ ne divise jamais $c$.
- (Correct) On ne peut rien conclure sans information supplémentaire.
- (Incorrect) $a$ divise nécessairement $b - c$.