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PGCD et nombres premiers Entraînement

QCM : Théorème de Bézout

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Ce QCM porte sur le théorème de Bézout et son utilisation pour caractériser les couples d'entiers premiers entre eux. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Question 1 :

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Quelle équivalence traduit le théorème de Bézout ?

  • (Incorrect) $a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = \text{PGCD}(a\,;\,b)$.
  • (Correct) $a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.
  • (Incorrect) $a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $au + bv = 1$.
  • (Incorrect) $a$ et $b$ sont premiers entre eux $\iff$ il existe deux entiers naturels $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.
Question 2 :

On a vérifié l'égalité $7 \times 3 - 5 \times 4 = 1$. Que peut-on en déduire ?

  • (Incorrect) $7$ et $5$ sont des nombres premiers.
  • (Correct) $7$ et $5$ sont premiers entre eux.
  • (Incorrect) $\text{PGCD}(7\,;\,5) = 7 \times 3 - 5 \times 4$.
  • (Incorrect) $5$ divise $7$.
Question 3 :

Soit $n$ un entier naturel non nul. À l'aide d'une identité de Bézout, que peut-on affirmer sur $n$ et $n+1$ ?

  • (Incorrect) Leur PGCD vaut $n$.
  • (Incorrect) Leur PGCD vaut $2$ si $n$ est pair.
  • (Correct) Ils sont premiers entre eux.
  • (Incorrect) Ils sont divisibles par tout diviseur de $n+1$.
Question 4 :

Pour quel entier $b$ l'égalité $14u + bv = 1$ admet-elle une solution $(u\,;\,v)$ en entiers relatifs ?

  • (Incorrect) $b = 7$
  • (Incorrect) $b = 21$
  • (Incorrect) $b = 28$
  • (Correct) $b = 9$
Question 5 :

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls de PGCD $d$. Quelle propriété est correcte ?

  • (Incorrect) Pour tous entiers relatifs $u$ et $v$, $au + bv = d$.
  • (Correct) Il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = d$.
  • (Incorrect) Si $au + bv = d$ pour deux entiers relatifs $u$ et $v$, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
  • (Incorrect) Tout entier $k$ s'écrit $k = au + bv$ avec $u$ et $v$ entiers relatifs.
Question 6 :

On suppose que $a$ et $b$ sont premiers entre eux et qu'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 5$. Que peut-on en déduire sur le couple $(u\,;\,v)$ ?

  • (Correct) Rien de particulier : $u$ et $v$ existent dès lors que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
  • (Incorrect) $u$ et $v$ sont nécessairement premiers entre eux.
  • (Incorrect) L'égalité est impossible si $a > 5$ ou $b > 5$.
  • (Incorrect) $5$ doit être un multiple de $a + b$.