QCM : État stable et limite d’une suite matricielle
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Ce QCM porte sur l'état stable et la limite d'une suite définie par une relation $U_{n+1} = A\,U_n + C$ ou par une chaîne de Markov. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : On dit qu'une matrice colonne $L$ est un point fixe (ou état stable) de la relation $U_{n+1} = A\,U_n + C$ lorsque :
- (Incorrect) $L = A\,L$
- (Correct) $L = A\,L + C$
- (Incorrect) $L = A^n\,L + C$
- (Incorrect) $L = U_0$
Question 2 : On considère $U_{n+1} = A\,U_n + C$ avec $A = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{4} \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Quel est le point fixe $L$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{3}{4} \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}$
Question 3 : La suite $\left(U_n\right)$ vérifie $U_{n+1} = A\,U_n + C$ et l'on a trouvé que $A^n$ tend vers la matrice nulle. Vers quoi tend $\left(U_n\right)$ ?
- (Incorrect) Vers $U_0$
- (Incorrect) Vers la matrice nulle
- (Correct) Vers le point fixe $L$ vérifiant $L = A\,L + C$
- (Incorrect) Vers $C$
Question 4 : Soit $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ la matrice de transition d'une chaîne de Markov à $2$ états. Une distribution invariante $X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ vérifie :
- (Incorrect) $P\,X = X$
- (Correct) $X\,P = X$ et $a + b = 1$
- (Incorrect) $X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $X\,P = 0$
Question 5 : Pour $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$, on cherche la distribution invariante $X = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$. Quel système faut-il résoudre ?
- (Correct) $\begin{cases} 0{,}5\,a + 0{,}25\,b = a \\ a + b = 1 \end{cases}$
- (Incorrect) $\begin{cases} 0{,}5\,a + 0{,}5\,b = a \\ 0{,}25\,a + 0{,}75\,b = b \end{cases}$ (sans contrainte de somme)
- (Incorrect) $\begin{cases} 0{,}5\,a + 0{,}5\,b = b \\ a + b = 1 \end{cases}$
- (Incorrect) $\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$
Question 6 : Pour une chaîne de Markov dont les coefficients de $P$ sont tous strictement positifs, que peut-on dire de la suite des distributions $\left(X_n\right)$ ?
- (Incorrect) Elle est constante.
- (Incorrect) Elle dépend uniquement de $X_0$ même à long terme.
- (Correct) Elle converge vers une distribution invariante indépendante de $X_0$.
- (Incorrect) Elle diverge.