Suites et complexes – Bac S Antilles Guyane 2013
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Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité On considère la suite $ \left(z_{n}\right) $ à termes complexes définie par : $ z_{0}=1+i $ et, pour tout entier naturel $ n $, par
Pour tout entier naturel $ n $, on pose : $ z_{n}=a_{n}+ib_{n} $, où $ a_{n} $ est la partie réelle de $ z_{n} $ et $ b_{n} $ est la partie imaginaire de $ z_{n} $.
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $ \left(a_{n}\right) $ et $ \left(b_{n}\right) $.
Partie A
- Donner $ a_{0} $ et $ b_{0} $.
- Calculer $ z_{1} $, puis en déduire que $ a_{1}=\dfrac{1 +\sqrt{2}}{3} $ et $ b_{1}=\dfrac{1}{3} $.
On considère l'algorithme suivant :
Variables : A et B des nombres réels K et N des nombres entiers Initialisation : Affecter à A la valeur 1 Affecter à B la valeur 1 Traitement : Entrer la valeur de N Pour K variant de 1 à N $ \quad $Affecter à A la valeur $ \dfrac{A +\sqrt{A^{2}+B^{2}}}{3} $ $ \quad $Affecter à B la valeur $ \dfrac{B}{3} $. Fin Pour Afficher A On exécute cet algorithme en saisissant $ N=2 $. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $ 10^{ - 4} $ près).
K A B 1 2 - Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice
Partie B
Pour tout entier naturel $ n $, exprimer $ z_{n+1} $ en fonction de $ a_{n} $ et $ b_{n} $.
En déduire l'expression de $ a_{n+1} $ en fonction de $ a_{n} $ et $ b_{n} $, et l'expression de $ b_{n+1} $ en fonction de $ b_{n} $.
- Quelle est la nature de la suite $ \left(b_{n}\right) $ ? En déduire l'expression de $ b_{n} $ en fonction de $ n $, et déterminer la limite de la suite $ \left(b_{n}\right) $.
On rappelle que pour tous nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ :
$ |z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}| $(inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
$ |z_{n +1}|\leqslant \dfrac{2|z_{n}|}{3}. $Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ u_{n}=|z_{n}| $.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $,
$ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2}. $En déduire que la suite $ \left(u_{n}\right) $ converge vers une limite que l'on déterminera.
Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, $ |a_{n}| \leqslant u_{n} $.
En déduire que la suite $ \left(a_{n}\right) $ converge vers une limite que l'on déterminera
Corrigé
Partie A
Comme $ z_{0}=1+i $, on a :
$ a_{0}=1 \quad \text{et} \quad b_{0}=1 $Calculons $ z_{1} $ :
$ z_{1} = \dfrac{z_{0}+|z_{0}|}{3} = \dfrac{1+i+\sqrt{1^2+1^2}}{3} = \dfrac{1+i+\sqrt{2}}{3} = \dfrac{1+\sqrt{2}}{3} + i\dfrac{1}{3} $On en déduit par identification des parties réelle et imaginaire :
$ a_{1}=\dfrac{1 +\sqrt{2}}{3} \quad \text{et} \quad b_{1}=\dfrac{1}{3} $Voici le tableau complété :
K A B 1 0{,}8047 0{,}3333 2 0{,}5586 0{,}1111 - La valeur affichée par l'algorithme pour un nombre $ N $ donné correspond à la valeur de $ a_{N} $, la partie réelle du terme $ z_{N} $.
Partie B
Pour tout entier naturel $ n $ :
$ z_{n+1} = \dfrac{a_n + i b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3} = \dfrac{a_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3} + i \dfrac{b_n}{3} $On en déduit :
$ a_{n+1} = \dfrac{a_{n} + \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}{3} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \dfrac{b_{n}}{3} $On a $ b_{n+1} = \dfrac{1}{3} b_{n} $.
La suite $ \left(b_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = \dfrac{1}{3} $ et de premier terme $ b_{0} = 1 $.
L'expression de $ b_{n} $ en fonction de $ n $ est :$ b_{n} = b_{0} \times q^{n} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} $Comme $ -1 < \dfrac{1}{3} < 1 $, on a :
$ \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} = 0 $D'où $ \lim\limits_{n \to +\infty} b_{n} = 0 $.
Pour tout entier naturel $ n $ :
$ |z_{n +1}| = \left| \dfrac{z_{n}+|z_{n}|}{3} \right| = \dfrac{1}{3} |z_{n}+|z_{n}|| $
D'après l'inégalité triangulaire $ |z+z^{\prime}|\leqslant |z|+|z^{\prime}| $, en posant $ z = z_n $ et $ z' = |z_n| $ :
$ |z_n + |z_n|| \leqslant |z_n| + ||z_n|| = 2|z_n| $
Donc :$ |z_{n +1}|\leqslant \dfrac{2}{3}|z_{n}| $Soit $ \mathcal{P}_n $ la propriété : $ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2} $.
Initialisation : Pour $ n=0 $, $ u_0 = |z_0| = \sqrt{2} $.
$ (2/3)^0 \sqrt{2} = \sqrt{2} $, donc $ u_0 \leqslant \sqrt{2} $. $ \mathcal{P}_0 $ est vraie.Hérédité : Supposons $ \mathcal{P}_n $ vraie pour un certain entier $ n \geqslant 0 $.
On a $ u_{n+1} = |z_{n+1}| \leqslant \dfrac{2}{3} |z_n| = \dfrac{2}{3} u_n $.
Par hypothèse de récurrence : $ u_n \leqslant (2/3)^n \sqrt{2} $.
Donc $ u_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{3} \times (2/3)^n \sqrt{2} = (2/3)^{n+1} \sqrt{2} $.
L'hérédité est démontrée.Conclusion : Par le principe de récurrence, $ u_{n}\leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \sqrt{2} $ pour tout entier naturel $ n $.
Comme $ 0 < \dfrac{2}{3} < 1 $, $ \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} = 0 $.
D'après le théorème des gendarmes (car $ u_n = |z_n| \geqslant 0 $) :$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0 $Pour tout complexe $ z = x+iy $, $ |x| = \sqrt{x^2} \leqslant \sqrt{x^2+y^2} = |z| $.
Ici, $ a_n $ est la partie réelle de $ z_n $, donc :$ |a_{n}| \leqslant |z_n| = u_{n} $Comme $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0 $, d'après le théorème des gendarmes :
$ \lim\limits_{n \to +\infty} |a_n| = 0 \quad \text{donc} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 0 $