Calculer et utiliser le conjugué d’un nombre complexe
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Le conjugué de $ z=a+ib $ est $ \overline{z}=a-ib $. Le conjugué sert principalement à rendre un dénominateur réel et à caractériser les nombres réels ou imaginaires purs.
- Étape 1 : Mettre $ z $ sous forme algébrique $ a+ib $ pour identifier $ a $ et $ b $.
- Étape 2 : Écrire $ \overline{z}=a-ib $ (on change uniquement le signe de la partie imaginaire).
- Étape 3 : Pour démontrer une propriété sur $ z $, utiliser les règles de calcul : $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'} $, $ \overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'} $, $ \overline{z^{n}}=\overline{z}^{n} $.
- Étape 4 : Utiliser les caractérisations : $ z $ est réel $ \Leftrightarrow z=\overline{z} $ ; $ z $ est imaginaire pur $ \Leftrightarrow z=-\overline{z} $.
Calculer un conjugué
Soit $ z=\dfrac{2+i}{3-i} $. Calculer $ \overline{z} $.
Étape 1 : On commence par mettre $ z $ sous forme algébrique en multipliant par le conjugué du dénominateur.
$ z=\dfrac{\left(2+i\right)\left(3+i\right)}{\left(3-i\right)\left(3+i\right)}=\dfrac{6+2i+3i+i^{2}}{9-i^{2}}=\dfrac{6+5i-1}{9+1}=\dfrac{5+5i}{10} $
Étape 2 : On change le signe de la partie imaginaire :
Démontrer qu'un nombre complexe est réel
Soit $ z $ un nombre complexe non nul. Démontrer que $ Z=\dfrac{z}{\overline{z}}+\dfrac{\overline{z}}{z} $ est un réel.
Étape 1 : On veut montrer que $ Z=\overline{Z} $.
Étape 2 : On calcule $ \overline{Z} $ en utilisant les propriétés :
$ \overline{Z}=\overline{\left(\dfrac{z}{\overline{z}}\right)}+\overline{\left(\dfrac{\overline{z}}{z}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{\overline{z}}}+\dfrac{\overline{\overline{z}}}{\overline{z}} $
Étape 3 : Comme $ \overline{\overline{z}}=z $, on obtient :
$ \overline{Z}=\dfrac{\overline{z}}{z}+\dfrac{z}{\overline{z}}=Z $
Comme $ Z=\overline{Z} $, $ Z $ est un nombre réel.
Remarque
Quelques propriétés très utiles :
- $ z+\overline{z}=2\,\text{Re}\left(z\right) $ (un réel)
- $ z-\overline{z}=2i\,\text{Im}\left(z\right) $ (un imaginaire pur)
- $ z\overline{z}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2} $ (un réel positif)
Attention
Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués, mais le conjugué d'une expression contenant un réel ne change pas ce réel. Par exemple : $ \overline{3+2iz}=3+2\overline{iz}=3-2i\overline{z} $ (car $ \overline{i}=-i $ et $ \overline{3}=3 $).