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Suites et matrices Exercices

Suites matricielles affines — gestion de stocks

Durée estimée
20 minutes
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Objectifs travaillés

Un distributeur gère le stock de deux produits A et B. Pour tout entier naturel $ n $, on note $ u_n $ (resp. $ v_n $) le nombre d'unités en stock du produit A (resp. B) en début de la semaine $ n $.

Chaque semaine :

  • Produit A : 40 % du stock est vendu et 120 nouvelles unités sont livrées : $ u_{n+1} = \dfrac{3}{5}\,u_n + 120 $.
  • Produit B : la moitié du stock est vendue et 80 nouvelles unités sont livrées : $ v_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,v_n + 80 $.

En début de semaine 0, le stock de A est de 50 unités et le stock de B est de 40 unités.

On pose $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $.

    1. Écrire la relation de récurrence sous la forme $ U_{n+1} = A\,U_n + C $, en précisant les matrices $ A $ et $ C $.
    2. Calculer $ U_1 $ et $ U_2 $.

  2. On cherche une matrice colonne $ L = \begin{pmatrix} \ell \\ m \end{pmatrix} $ vérifiant $ L = A\,L + C $ (point fixe de la relation).

    1. Résoudre le système correspondant et déterminer $ L $.
    2. On pose $ V_n = U_n - L $. Montrer que $ V_{n+1} = A\,V_n $.
    1. En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, $ V_n = A^n\,V_0 $. Donner $ V_0 $.
    2. Calculer $ A^n $.
    3. En déduire les expressions de $ u_n $ et $ v_n $ en fonction de $ n $.
  4. Vers quelle valeur chacun des stocks converge-t-il lorsque $ n \to +\infty $ ? Interpréter ce résultat.

Corrigé

    1. Les deux relations de récurrence s'écrivent matriciellement $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ avec :

      $ A = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} $ et $ C = \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} $.

    2. On part de $ U_0 = \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \end{pmatrix} $.

      $ U_1 = A\,U_0 + C = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} \times 50 \\ \dfrac{1}{2} \times 40 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 150 \\ 100 \end{pmatrix} $

      $ U_2 = A\,U_1 + C = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} \times 150 \\ \dfrac{1}{2} \times 100 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 90 \\ 50 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 210 \\ 130 \end{pmatrix} $

    1. La condition $ L = A\,L + C $ donne le système :

      $ \left\{\begin{matrix} \ell = \dfrac{3}{5}\,\ell + 120 \\ m = \dfrac{1}{2}\,m + 80 \end{matrix}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} \dfrac{2}{5}\,\ell = 120 \\ \dfrac{1}{2}\,m = 80 \end{matrix}\right. $

      On obtient $\mathbf{\ell = 300}$ et $\mathbf{m = 160}$, donc $ L = \begin{pmatrix} 300 \\ 160 \end{pmatrix} $.

    2. Pour tout entier naturel $ n $, $ V_{n+1} = U_{n+1} - L $.

      Or $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ et $ L = A\,L + C $, donc :

      $ V_{n+1} = \left(A\,U_n + C\right) - \left(A\,L + C\right) = A\,U_n - A\,L = A\left(U_n - L\right) = A\,V_n $

    1. La suite $ \left(V_n\right) $ vérifie $ V_{n+1} = A\,V_n $, donc $ V_n = A^n\,V_0 $.

      $ V_0 = U_0 - L = \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 300 \\ 160 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -250 \\ -120 \end{pmatrix} $

    2. La matrice $ A $ est diagonale, donc pour tout entier naturel $ n $ :

      $ A^n = \begin{pmatrix} \left(\dfrac{3}{5}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} $

    3. On calcule :

      $ V_n = A^n\,V_0 = \begin{pmatrix} -250\left(\dfrac{3}{5}\right)^n \\ -120\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} $

      Comme $ U_n = V_n + L $, on obtient pour tout entier naturel $ n $ :

      $\mathbf{u_n = 300 - 250\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}$ et $\mathbf{v_n = 160 - 120\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$.

  4. Comme $ 0 < \dfrac{3}{5} < 1 $ et $ 0 < \dfrac{1}{2} < 1 $, on a $ \left(\dfrac{3}{5}\right)^n \to 0 $ et $ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 $ lorsque $ n \to +\infty $.

    Donc $ u_n \to $ 300 et $ v_n \to $ 160.

    À long terme, le stock du produit A se stabilise à 300 unités et celui du produit B à 160 unités : ce sont les niveaux d'équilibre correspondant au point fixe $ L $.

Pour réviser : Déterminer le terme général d'une suite U(n+1) = AU(n) + C