Nombres complexes et algèbre

Attention : On définit une addition et une multiplication sur $ \mathbb{C} $ mais on ne définit pas de relation d'ordre (comme $ \leqslant $). En effet il n'est pas possible de définir une telle relation qui soit compatible avec celle définie sur $ \mathbb{R} $ et possède les mêmes propriétés que dans $ \mathbb{R} $.

Dans les exercices, attention donc à ne pas écrire de choses comme $ z < z^{\prime} $, si $ z $ et $ z^{\prime} $ sont des nombres complexes non réels !

• Cela résulte immédiatement du fait que chaque élément de $ \mathbb{C} $ s'écrit de manière unique sous la forme $ z=a+ib $.
• En particulier, un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.

La formule du binôme est déjà connue dans $ \mathbb{R} $. Sa démonstration (par récurrence sur $ n $, à l'aide de la relation de Pascal $ \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} $) n'utilise que l'addition et la multiplication, ainsi que le fait que ces deux opérations sont associatives, distributives et commutatives.

Or la multiplication dans $ \mathbb{C} $ suit exactement les mêmes règles de calcul que dans $ \mathbb{R} $ : en particulier elle est commutative ($ z\times z^{\prime} = z^{\prime}\times z $). C'est ce qui autorise à factoriser les termes $ z^{k} {z^{\prime}}^{\,n-k} $ comme dans le cas réel.

La même démonstration s'applique donc mot pour mot avec des nombres complexes, et la formule reste valable dans $ \mathbb{C} $.

• Par contre, en général, $ |z+z^{\prime}| $ n'est pas égal à $ |z|+|z^{\prime}| $. On peut juste montrer que $ |z+z^{\prime}| \leqslant |z|+|z^{\prime}| $ (inégalité triangulaire) ;
• ROC : La démonstration de certaines de ces propriétés a été demandée au Bac 2014.

Comme $ z\neq 0 $, on a $ z\overline{z}=|z|^{2}\neq 0 $. En multipliant le numérateur et le dénominateur de $ \dfrac{1}{z} $ par $ \overline{z} $ :

$ \dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\,\overline{z}}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}} $

Le dénominateur $ |z|^{2}=a^{2}+b^{2} $ étant un réel, on obtient directement la forme algébrique de l'inverse. C'est la même technique que pour mettre un quotient sous forme algébrique : multiplier par le conjugué du dénominateur.

Ces relations résultent de la factorisation $ az^{2}+bz+c=a\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) $ : en développant et en identifiant les coefficients, on retrouve $ b=-a\left(z_{1}+z_{2}\right) $ et $ c=a\,z_{1}z_{2} $.

Elles sont utiles pour vérifier des racines trouvées, ou pour déterminer la seconde racine quand on en connaît déjà une.

En particulier :

• $ \text{arg}\left( - z\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left( - 1\right) = \text{arg}\left(z\right)+\pi $
• $ \text{arg}\left(\dfrac{1}{z}\right)=\text{arg}\left(1\right) - \text{arg}\left(z\right) = - \text{arg}\left(z\right) $.

• Notez bien l'ordre des affixes (inverse de l'ordre des points dans l'écriture de l'angle).
• Premier cas particulier important :
  
  $ A, B $ et $ C $ sont alignés
  $ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) = 0~\text{ou}~\pi~\left[\text{mod. } 2\pi \right] $
  $ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} \in \mathbb{R} $.
• Second cas particulier important :
  
  $ \widehat{BAC} $ est un angle droit
  $ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi }{2} ~ \left[\text{mod. } 2\pi \right] $
  $ \phantom{A, B} \Leftrightarrow \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} $ est un imaginaire pur.

Ce sont les propriétés des arguments :

• $ \text{arg}\left(zz^{\prime}\right)=\text{arg}\left(z\right)+\text{arg}\left(z^{\prime}\right) $
• $ \text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right) $
• $ \text{arg}\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\text{arg}\left(z\right) - \text{arg}\left(z^{\prime}\right) $

similaires aux propriétés de l'exponentielle qui justifient cette notation.

On développe le produit $ e^{i\theta}\times e^{i\theta^{\prime}} $ en remplaçant chaque facteur par sa forme trigonométrique :

$ \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\left(\cos\theta^{\prime}+i\sin\theta^{\prime}\right) $
$ =\left(\cos\theta\cos\theta^{\prime}-\sin\theta\sin\theta^{\prime}\right)+i\left(\sin\theta\cos\theta^{\prime}+\cos\theta\sin\theta^{\prime}\right) $

Ce produit est égal à $ e^{i\left(\theta+\theta^{\prime}\right)}=\cos\left(\theta+\theta^{\prime}\right)+i\sin\left(\theta+\theta^{\prime}\right) $. En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient les deux formules d'addition.

En prenant $ \theta^{\prime}=\theta $, on en déduit les formules de duplication $ \cos\left(2\theta\right)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta $ et $ \sin\left(2\theta\right)=2\sin\theta\cos\theta $.

Cette formule s'obtient directement à partir de la forme exponentielle : $ \left(e^{i\theta}\right)^{n}=e^{in\theta} $.

Ces formules s'obtiennent en additionnant et en soustrayant les égalités $ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $ et $ e^{-i\theta} = \cos \theta - i \sin \theta $.

Elles permettent notamment de linéariser des polynômes trigonométriques (transformer un produit de cosinus et sinus en somme).

On cherche $ z $ sous forme exponentielle $ z=re^{i\theta} $ (toute solution est non nulle car $ 0^{n}=0\neq 1 $). Alors :

$ z^{n}=r^{n}e^{in\theta}=1=1\times e^{i\times 0} $

Par identification du module et de l'argument, $ r^{n}=1 $ donc $ r=1 $ (car $ r>0 $), et $ n\theta=0\ \left[\text{mod. }2\pi\right] $, c'est-à-dire $ \theta=\dfrac{2k\pi}{n} $ avec $ k\in\mathbb{Z} $.

Les valeurs $ k=0,1,\dots,n-1 $ donnent $ n $ arguments distincts ; au-delà, on retrouve les mêmes nombres modulo $ 2\pi $. Il y a donc exactement $ n $ solutions.

Les images des racines $ n $-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $ n $ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, l'un des sommets étant le point d'affixe $ 1 $. Pour $ n=3 $, on obtient un triangle équilatéral.

En posant $ \omega=e^{i\frac{2\pi}{n}} $, les racines sont $ 1,\omega,\omega^{2},\dots,\omega^{n-1} $ : c'est une somme géométrique de raison $ \omega\neq 1 $. Comme $ \omega^{n}=1 $ :

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k}=\dfrac{\omega^{n}-1}{\omega-1}=\dfrac{1-1}{\omega-1}=0 $

Il suffit de développer le membre de droite : tous les termes se simplifient deux à deux par télescopage, et il ne reste que $ z^{n}-a^{n} $. On peut aussi reconnaître la somme géométrique $ \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}a^{j}z^{n-1-j} $ multipliée par $ \left(z-a\right) $.

Si $ P(a)=0 $, on écrit $ P(z)=P(z)-P(a) $. Or chaque monôme $ c_{k}z^{k} $ donne $ c_{k}\left(z^{k}-a^{k}\right) $, factorisable par $ \left(z-a\right) $ d'après la propriété précédente. En sommant, $ P(z)=\left(z-a\right)Q(z) $ avec $ \deg Q=n-1 $.

Le nombre de racines s'en déduit : chaque racine fait baisser le degré du facteur restant d'au moins $ 1 $, on ne peut donc factoriser au plus que $ n $ fois.