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Nombres complexes et algèbre Exercices

Nombres complexes – Équation et puissances

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

  1. Résoudre dans $ \mathbb{C} $ l'équation :

    $ (4 - 2i)z - \dfrac{1+i}{1 - i} =2 \sqrt{3} +1+i(1 - \sqrt{3} ) $

    d'inconnue $ z $.

    On écrira la solution sous la forme $ z_0=a+ib $, dans laquelle $ a $ et $ b $ sont des nombres réels.

  2. Calculer $ z_0^2 $ et vérifier que $ z_0^3=i $.
  3. En déduire $ z_0^{12} $ puis $ z_0^{2016} $

Corrigé

  1. Simplifions d'abord l'expression $ \dfrac{1+i}{1 - i} $ en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $ 1+i $ :

    $ \dfrac{1+i}{1 - i} = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1+2i-1}{1^2+1^2} = \dfrac{2i}{2} = i $

    L'équation devient alors :

    $ (4 - 2i)z - i = 2 \sqrt{3} + 1 + i(1 - \sqrt{3} ) $

    Isolons le terme en $ z $ :

    $ (4 - 2i)z = 2 \sqrt{3} + 1 + i(1 - \sqrt{3} ) + i $

    $ (4 - 2i)z = 2 \sqrt{3} + 1 + i(2 - \sqrt{3} ) $

    D'où :

    $ z = \dfrac{2 \sqrt{3} + 1 + i(2 - \sqrt{3} )}{4 - 2i} $

    Pour obtenir la forme algébrique, multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué $ 4+2i $ :

    $ z = \dfrac{(2 \sqrt{3} + 1 + i(2 - \sqrt{3} ))(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} $

    $ z = \dfrac{8\sqrt{3} + 4 + i(4\sqrt{3} + 2) + i(8 - 4\sqrt{3}) + 2i^2(2 - \sqrt{3})}{4^2 + 2^2} $

    $ z = \dfrac{8\sqrt{3} + 4 + i(4\sqrt{3} + 2 + 8 - 4\sqrt{3}) - 2(2 - \sqrt{3})}{20} $

    $ z = \dfrac{8\sqrt{3} + 4 + 10i - 4 + 2\sqrt{3}}{20} $

    $ z = \dfrac{10\sqrt{3} + 10i}{20} $

    La solution est donc :

    $ z_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i $

  2. Calculons $ z_0^2 $ :

    $ z_0^2 = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right)^2 $

    $ z_0^2 = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{1}{2}i + \left( \dfrac{1}{2}i \right)^2 $

    $ z_0^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i - \dfrac{1}{4} $

    $ z_0^2 = \dfrac{2}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i $

    $ z_0^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i $

    Calculons ensuite $ z_0^3 = z_0^2 \times z_0 $ :

    $ z_0^3 = \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right) \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) $

    $ z_0^3 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{4}i + \dfrac{3}{4}i + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i^2 $

    $ z_0^3 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + i - \dfrac{\sqrt{3}}{4} $

    $ z_0^3 = i $

    On a donc bien vérifié que $ z_0^3 = i $.

  3. Déduisons-en les puissances de $ z_0 $ :

    D'après la question précédente, $ z_0^3 = i $.

    $ z_0^{12} = (z_0^3)^4 = i^4 $

    Comme $ i^2 = -1 $, on a $ i^4 = (-1)^2 = 1 $.

    Donc :

    $ z_0^{12} = 1 $

    Pour $ z_0^{2016} $, remarquons que $ 2016 = 12 \times 168 $.

    $ z_0^{2016} = (z_0^{12})^{168} = 1^{168} $

    D'où :

    $ z_0^{2016} = 1 $