Effectuer une division euclidienne dans Z
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Pour déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne d'un entier relatif $a$ par un entier $b$ non nul, on cherche l'unique couple $(q, r)$ tel que :
- Étape 1 : si $a \geqslant 0$, effectuer la division euclidienne usuelle. Si $a < 0$, partir de la division euclidienne de $|a|$ par $|b|$.
- Étape 2 : ajuster le quotient et le reste pour que $r$ soit positif et strictement inférieur à $|b|$.
- Étape 3 : vérifier l'égalité $a = bq + r$ et la double inégalité $0 \leqslant r < |b|$.
Attention
L'égalité $a = bq + r$ ne suffit pas : la condition $0 \leqslant r < |b|$ est essentielle pour que $(q, r)$ soit le quotient et le reste de la division euclidienne.
Par exemple, $-14 = 3 \times (-4) + (-2)$ est une égalité valable, mais $-2$ n'est pas un reste valide car $-2 < 0$.
Dividende positif
On cherche le quotient et le reste de la division euclidienne de $47$ par $6$.
Étape 1 : $47 = 6 \times 7 + 5$.
Étape 2 : le reste $r = 5$ vérifie $0 \leqslant 5 < 6$.
Conclusion : le quotient est $\mathbf{q = 7}$ et le reste est $\mathbf{r = 5}$.
Dividende négatif
On cherche le quotient et le reste de la division euclidienne de $-47$ par $6$.
Étape 1 : on part de la division de $47$ par $6$ : $47 = 6 \times 7 + 5$.
En multipliant par $-1$ :
Mais $-5$ n'est pas un reste valide.
Étape 2 : on ajoute et retranche $6$ pour faire apparaître un reste positif :
Étape 3 : le reste $r = 1$ vérifie $0 \leqslant 1 < 6$.
Conclusion : le quotient est $\mathbf{q = -8}$ et le reste est $\mathbf{r = 1}$.
Diviseur négatif
On cherche le quotient et le reste de la division euclidienne de $30$ par $-7$.
Étape 1 : on part de la division de $30$ par $|-7| = 7$ : $30 = 7 \times 4 + 2$.
Étape 2 : on adapte avec le diviseur $-7$ :
Étape 3 : le reste $r = 2$ vérifie $0 \leqslant 2 < |-7| = 7$.
Conclusion : le quotient est $\mathbf{q = -4}$ et le reste est $\mathbf{r = 2}$.
Remarque
Une astuce rapide pour un dividende négatif : si $a = bq + r$ avec $a > 0$ et $r > 0$, alors $-a = b \times (-q-1) + (b - r)$, où $b - r$ est le nouveau reste (entre $0$ et $b-1$).
Sur l'exemple $a = 47$, $b = 6$, $r = 5$ : $-47 = 6 \times (-8) + (6 - 5) = 6 \times (-8) + 1$.