Déterminer la nature d’un triangle avec les nombres complexes
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Soient $ A $, $ B $, $ C $ trois points distincts d'affixes $ z_{A} $, $ z_{B} $, $ z_{C} $.
On forme le quotient :
et on lit la nature du triangle $ ABC $ sur son module et son argument :
- $ |Z| = \dfrac{AC}{AB} $ : rapport des longueurs.
- $ \arg(Z) = \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) $ : angle géométrique en $ A $.
- Étape 1 : calculer le quotient $ Z $ et le simplifier.
- Étape 2 : lire le module et l'argument.
- Étape 3 : conclure selon les critères ci-dessous.
Critères de reconnaissance
- Triangle isocèle en $ A $ : $ |Z| = 1 $ (équivaut à $ AC = AB $).
- Triangle rectangle en $ A $ : $ Z $ est un imaginaire pur, soit $ \arg(Z) = \pm\dfrac{\pi}{2} $.
- Triangle isocèle rectangle en $ A $ : $ Z = i $ ou $ Z = -i $ (les deux conditions précédentes simultanément).
- Triangle équilatéral : $ |Z| = 1 $ et $ \arg(Z) = \pm\dfrac{\pi}{3} $, soit $ Z = e^{i\frac{\pi}{3}} $ ou $ Z = e^{-i\frac{\pi}{3}} $.
Triangle isocèle rectangle
Soient $ A $, $ B $, $ C $ d'affixes $ z_{A} = 1 $, $ z_{B} = 3 + 2i $, $ z_{C} = -1 + 2i $. Déterminer la nature du triangle $ ABC $.
Étape 1 : calcul du quotient.
$ Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{-1 + 2i - 1}{3 + 2i - 1} = \dfrac{-2 + 2i}{2 + 2i} $
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué $ 2 - 2i $ :
$ Z = \dfrac{(-2 + 2i)(2 - 2i)}{(2 + 2i)(2 - 2i)} = \dfrac{-4 + 4i + 4i - 4i^{2}}{4 + 4} = \dfrac{-4 + 8i + 4}{8} = \dfrac{8i}{8} = i $
Étape 2 : lecture du module et de l'argument.
$ |Z| = 1 $ et $ \arg(Z) = \dfrac{\pi}{2} $.
Étape 3 : conclusion.
$ AC = AB $ et $ \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{\pi}{2} $ : le triangle $ ABC $ est isocèle rectangle en $ A $.
Triangle équilatéral
Soient $ A $, $ B $, $ C $ d'affixes $ z_{A} = 0 $, $ z_{B} = 2 $, $ z_{C} = 1 + i\sqrt{3} $. Démontrer que $ ABC $ est équilatéral.
Étape 1 : calcul du quotient.
$ Z = \dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
Étape 2 : forme exponentielle.
$ |Z| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = 1 $
$ \cos\theta = \dfrac{1}{2} $ et $ \sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ donnent $ \theta = \dfrac{\pi}{3} $.
D'où $ Z = e^{i\frac{\pi}{3}} $.
Étape 3 : conclusion.
$ |Z| = 1 $ donc $ AC = AB $ et $ \arg(Z) = \dfrac{\pi}{3} $ donc $ \widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3} $. Un triangle isocèle ayant un angle de $ \dfrac{\pi}{3} $ est équilatéral.
Remarque
Pour un triangle équilatéral, on peut aussi démontrer directement les trois égalités $ AB = BC = CA $ en calculant les trois modules $ |z_{B} - z_{A}| $, $ |z_{C} - z_{B}| $, $ |z_{A} - z_{C}| $. La méthode du quotient évite un calcul.
Attention
- Les critères donnés ici concernent le sommet $ A $ : changer de sommet revient à changer le quotient (par exemple en $ B $ : $ Z = \dfrac{z_{A} - z_{B}}{z_{C} - z_{B}} $).
- Bien respecter l'ordre des affixes : numérateur = sommet d'arrivée moins sommet d'angle, dénominateur = autre sommet moins sommet d'angle.
- Pour conclure « équilatéral », vérifier les deux conditions ($ |Z|=1 $ et $ \arg(Z) = \pm\dfrac{\pi}{3} $) — la seule égalité $ |Z| = 1 $ ne donne qu'isocèle.