Déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe
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Soit $ z=a+ib $ un nombre complexe non nul. Pour déterminer sa forme trigonométrique $ z=r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) $, on procède en trois étapes :
- Étape 1 : calculer le module $ r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} $.
- Étape 2 : déterminer un argument $ \theta $ en résolvant le système $ \cos\theta = \dfrac{a}{r} $ et $ \sin\theta = \dfrac{b}{r} $.
- Étape 3 : conclure en écrivant $ z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) $.
Pour identifier $ \theta $, repérer dans quel quadrant se trouve l'image de $ z $ grâce aux signes de $ a $ et $ b $, puis utiliser les valeurs remarquables du cercle trigonométrique.
Remarque
L'argument est défini modulo $ 2\pi $. On choisit en général $ \theta \in \left] - \pi ; \pi \right] $ ou $ \theta \in \left[0 ; 2\pi \right[ $.
Cas avec valeurs remarquables
Déterminer la forme trigonométrique de $ z = -1 + i\sqrt{3} $.
Étape 1 : calcul du module.
$ r = |z| = \sqrt{(-1)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $
Étape 2 : détermination d'un argument $ \theta $.
$ \cos\theta = \dfrac{-1}{2} $ et $ \sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
La partie réelle est négative et la partie imaginaire positive : l'image de $ z $ est dans le deuxième quadrant. La valeur $ \theta = \dfrac{2\pi}{3} $ vérifie bien $ \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} $ et $ \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
Étape 3 : conclusion.
Cas avec partie réelle ou imaginaire nulle
Déterminer la forme trigonométrique de $ z = -3i $.
Étape 1 : calcul du module.
Ici $ a = 0 $ et $ b = -3 $.
$ r = \sqrt{0^{2} + (-3)^{2}} = 3 $
Étape 2 : détermination d'un argument.
$ \cos\theta = \dfrac{0}{3} = 0 $ et $ \sin\theta = \dfrac{-3}{3} = -1 $
L'image de $ z $ est sur la partie négative de l'axe des ordonnées, donc $ \theta = -\dfrac{\pi}{2} $.
Étape 3 : conclusion.
Cas avec valeur non remarquable
Déterminer la forme trigonométrique de $ z = 2 + 3i $.
Étape 1 : $ r = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} $.
Étape 2 : $ \cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{13}} $ et $ \sin\theta = \dfrac{3}{\sqrt{13}} $.
Ces valeurs ne correspondent à aucun angle remarquable. On donne alors $ \theta $ par sa valeur approchée :
$ \theta = \arctan\left(\dfrac{3}{2}\right) \approx 0{,}98 $ rad
Étape 3 :
Attention
- Le module est toujours positif : un signe « moins » devant un nombre complexe change l'argument, pas le module.
- Ne jamais utiliser $ \theta = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right) $ sans précaution : cette formule donne un mauvais résultat quand l'image est dans le 2e ou le 3e quadrant. Préférer le système $ \cos\theta = \dfrac{a}{r} $ et $ \sin\theta = \dfrac{b}{r} $.
- Vérifier la cohérence des signes de $ \cos\theta $ et $ \sin\theta $ avec le quadrant.