Démontrer une divisibilité par disjonction des cas modulo n
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Pour démontrer qu'une expression $E(n)$ dépendant d'un entier $n$ est divisible par un entier $p$, on examine successivement chacune des $p$ valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $n$ par $p$ (équivalent à $n \pmod{p}$).
- Étape 1 : choisir le module $p$ pertinent (le diviseur visé).
- Étape 2 : pour chaque valeur possible de $n \pmod{p}$ (soit $0, 1, 2, \ldots, p-1$), calculer $E(n) \pmod{p}$.
- Étape 3 : si $E(n) \equiv 0 \ \left[p\right]$ dans tous les cas, conclure que $p$ divise $E(n)$ pour tout entier $n$.
Divisibilité par 3
Démontrer que pour tout entier relatif $n$, l'entier $E(n) = n^3 - n$ est divisible par $3$.
Étape 1 : on raisonne modulo $3$. Tout entier $n$ vérifie $n \equiv 0 \ \left[3\right]$, $n \equiv 1 \ \left[3\right]$ ou $n \equiv 2 \ \left[3\right]$.
Étape 2 : on calcule $n^3 - n$ modulo $3$ dans chaque cas.
- Si $n \equiv 0 \ \left[3\right]$ : $n^3 - n \equiv 0^3 - 0 \equiv 0 \ \left[3\right]$.
- Si $n \equiv 1 \ \left[3\right]$ : $n^3 - n \equiv 1^3 - 1 \equiv 0 \ \left[3\right]$.
- Si $n \equiv 2 \ \left[3\right]$ : $n^3 - n \equiv 2^3 - 2 \equiv 8 - 2 \equiv 6 \equiv 0 \ \left[3\right]$.
Étape 3 : dans tous les cas, $n^3 - n \equiv 0 \ \left[3\right]$.
Conclusion : pour tout entier relatif $n$, $\color{red}{3 \mid n^3 - n}\color{black}$.
Divisibilité par 5
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $E(n) = n^5 - n$ est divisible par $5$.
Étape 1 : on raisonne modulo $5$. Pour simplifier les calculs, on utilise les représentants $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
Étape 2 : on calcule $n^5 - n$ modulo $5$.
- Si $n \equiv 0 \ \left[5\right]$ : $n^5 - n \equiv 0 \ \left[5\right]$.
- Si $n \equiv 1 \ \left[5\right]$ : $n^5 - n \equiv 1 - 1 \equiv 0 \ \left[5\right]$.
- Si $n \equiv -1 \ \left[5\right]$ : $n^5 - n \equiv (-1) - (-1) \equiv 0 \ \left[5\right]$.
- Si $n \equiv 2 \ \left[5\right]$ : $n^5 \equiv 32 \equiv 2 \ \left[5\right]$ donc $n^5 - n \equiv 2 - 2 \equiv 0 \ \left[5\right]$.
- Si $n \equiv -2 \ \left[5\right]$ : $n^5 \equiv -32 \equiv -2 \ \left[5\right]$ donc $n^5 - n \equiv -2 - (-2) \equiv 0 \ \left[5\right]$.
Étape 3 : dans tous les cas, $5$ divise $n^5 - n$.
Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $\mathbf{5 \mid n^5 - n}$.
Remarque
Choisir des représentants symétriques (par exemple $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ modulo $5$) raccourcit souvent les calculs grâce aux puissances paires/impaires.
Cette méthode est aussi appelée raisonnement par disjonction selon les restes modulo $p$. Elle est l'outil standard pour démontrer une divisibilité valable pour tout entier $n$, lorsque le diviseur visé est un petit entier.
Attention
Ne pas oublier de traiter tous les cas possibles : $p$ cas pour un module $p$. Oublier ne serait-ce qu'un seul cas invalide la démonstration.
Les calculs $n^k \pmod{p}$ doivent toujours utiliser les règles des congruences ($a \equiv b \ \left[p\right] \Rightarrow a^k \equiv b^k \ \left[p\right]$), jamais les valeurs entières non réduites de $n$.