Résoudre un système linéaire à l’aide de l’écriture matricielle
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Pour résoudre un système linéaire à l'aide des matrices :
- Étape 1 : écrire le système sous la forme matricielle $ A \times X = B $, en identifiant la matrice $ A $ des coefficients, la matrice colonne $ X $ des inconnues et la matrice colonne $ B $ du second membre.
- Étape 2 : vérifier que $ A $ est inversible (déterminant non nul pour l'ordre $ 2 $, ou contrôle à la calculatrice).
- Étape 3 : calculer $ A^{-1} $ (formule pour l'ordre $ 2 $, calculatrice pour l'ordre $ 3 $ ou plus).
- Étape 4 : calculer $ X = A^{-1} \times B $ pour obtenir les valeurs des inconnues.
- Étape 5 : conclure et vérifier en injectant les valeurs trouvées dans le système initial.
Résolution d'un système $ 2 \times 2 $
On résout le système :
Étape 1 : on pose $ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} $, $ X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ et $ B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $. Le système s'écrit alors $ A \times X = B $.
Étape 2 : le déterminant de $ A $ vaut $ 3 \times 7 - 4 \times 5 = 21 - 20 = 1 $, qui est non nul : $ A $ est donc inversible.
Étape 3 : on applique la formule de l'inverse d'une matrice $ 2 \times 2 $ :
Étape 4 : on calcule $ X = A^{-1} \times B $.
Étape 5 : le système admet une unique solution : $ x = -1 $ et $ y = 1 $.
Vérification : $ 3 \times (-1) + 4 \times 1 = -3 + 4 = 1 $ et $ 5 \times (-1) + 7 \times 1 = -5 + 7 = 2 $. Les deux équations sont satisfaites.
Résolution d'un système $ 3 \times 3 $ à la calculatrice
On résout le système :
Étape 1 : on pose
Le système devient $ A \times X = B $.
Étape 2 : à la calculatrice (instruction det(A)), on obtient $ \det(A) = 7 \neq 0 $. La matrice $ A $ est donc inversible.
Étape 3 : à la calculatrice (instruction A^-1) :
Étape 4 : on calcule $ X = A^{-1} \times B $ (à la calculatrice) :
Étape 5 : le système admet une unique solution : $ x = 1 $, $ y = 2 $ et $ z = 3 $.
Vérification : $ 1 + 2 + 3 = 6 $, $ 2 - 2 + 3 = 3 $ et $ 1 + 4 - 3 = 2 $. Les trois équations sont bien satisfaites.
Remarque
Cette méthode présente trois avantages :
- elle donne en une seule étape la solution (quand elle existe) ;
- elle se généralise sans modification aux systèmes à $ n $ inconnues, à condition que la matrice du système soit inversible ;
- une fois $ A^{-1} $ calculée, on peut résoudre rapidement le système pour plusieurs seconds membres $ B $ différents (très utile dans les problèmes de gestion de stock, de circulation entre populations…).
Attention
Erreurs fréquentes :
- écrire $ X = B \times A^{-1} $ : c'est faux, l'ordre est imposé par la non-commutativité du produit. La bonne formule est $ X = A^{-1} \times B $ ;
- oublier de vérifier que $ A $ est inversible : si $ \det(A) = 0 $, le système n'a pas de solution unique (soit aucune solution, soit une infinité) ;
- intervertir les colonnes de $ B $ : c'est une matrice colonne, pas une ligne ;
- ne pas vérifier la solution obtenue dans le système initial : un calcul matriciel erroné ne sera détecté que par cette étape.