Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016
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On considère les nombres complexes $ z_n $ définis, pour tout entier naturel $ n $, par
On note $ A_n $ le point d'affixe $ z_n $ dans le repère orthonormé $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $ (voir figure en fin de sujet).
L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $ A_n $.
- Vérifier que $ 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $.
- En déduire $ z_1 $ et $ z_2 $ sous forme exponentielle.
Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
$ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}. $- Pour quelles valeurs de $ n $, les points $ O,~A_0 $ et $ A_n $ sont-ils alignés ?
Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right| $.
- Interpréter géométriquement $ d_n $.
- Calculer $ d_0 $.
Montrer que pour tout entier naturel $ n $ non nul,
$ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right). $En déduire que la suite $ \left(d_n\right)_{n \geqslant 0} $ est géométrique puis que pour tout entier naturel $ n $,
$ d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n. $
Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
$ \left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2. $- En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, le triangle $ OA_nA_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $.
- Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $ A_5 $ sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.
- Justifier cette construction.
Corrigé
Soit le nombre complexe $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} $. Il s'écrit $ c = r\text{e}^{\text{i}\theta} $ sous forme exponentielle, $ r $ étant son module et $ \theta $ son argument.
On a :$ r = |c| = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \dfrac{3}{9}} = \sqrt{\dfrac{12}{9}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $$ \cos\theta = \dfrac{1}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $On en déduit que $ \theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $.
Alors :$ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $$ z_0 = 1 $ et $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n \implies z_1 = c \times z_0 = c $.
D'où :$ z_1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $$ z_2 = c \times z_1 = c^2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\right)^2 = \dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $
On peut écrire $ z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^1 \text{e}^{\text{i}1\frac{\pi}{6}} $ et $ z_2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \text{e}^{\text{i}2\frac{\pi}{6}} $.
Si la proposition $ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} $ est vraie au rang $ n $, elle est aussi vraie pour $ z_{n+1} $ car :$ z_{n+1} = z_1 \times z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1} \text{e}^{\text{i}(n+1)\frac{\pi}{6}} $Par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel $ n $.
- Les points $ O, A_0 $ et $ A_n $ sont respectivement les points d'affixe $ 0, z_0 $ et $ z_n $. Pour qu'ils soient alignés, il faut que leurs arguments soient égaux à $ k\pi $ près, avec $ k \in \mathbb{Z} $.
Les arguments de $ O $ (non défini) et $ z_0 $ sont $ 0 $ (argument de $ 1 $).
Il faut donc que $ \arg(z_n) = n\dfrac{\pi}{6} \equiv 0 \pmod{\pi} $, ce qui donne $ n = 6k $.
$ d_n = |z_{n+1} - z_n| $ est le module du complexe $ z_{n+1} - z_n $ dont l'image $ A_d $ dans le repère orthonormé est telle que $ \overrightarrow{OA_d} = \overrightarrow{OA_{n+1}} - \overrightarrow{OA_n} = \overrightarrow{A_n A_{n+1}} $.
Ceci revient à dire que $ d_n $ est égale à la norme du vecteur $ \overrightarrow{A_n A_{n+1}} $, soit la distance $ A_n A_{n+1} $ :$ d_n = A_n A_{n+1} = \left\| \overrightarrow{A_n A_{n+1}} \right\| $- $ d_0 = |z_1 - z_0| = \left| 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right| = \left| \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right| = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $.
Pour tout entier $ n \geqslant 0 $ :
$ z_{n+2} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1} $$ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n} $Par différence, on obtient :
$ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right) $Le module du produit de deux complexes étant égal au produit de leurs modules, on a :
$ |z_{n+2} - z_{n+1}| = \left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right| \times |z_{n+1} - z_n| $C'est-à-dire $ d_{n+1} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} d_n $.
La suite $ (d_n)_{n \geqslant 0} $ est une suite géométrique de premier terme $ d_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ et de raison $ q = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $.
Ainsi, pour tout entier naturel $ n $ :$ d_n = d_0 q^n = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $
D'après la question 2.a, on a $ |z_n| = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $.
D'où :$ |z_{n+1}|^2 = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{2(n+1)} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{n+1} = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $D'autre part :
$ |z_n|^2 + d_n^2 = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \dfrac{3}{9} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( 1 + \dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $On a bien $ |z_{n+1}|^2 = |z_n|^2 + d_n^2 $.
- D'après l'égalité précédente et le théorème de Pythagore, on a $ OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_n A_{n+1}^2 $.
Ceci implique que le triangle $ OA_n A_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $. Construction : On construit le symétrique $ A'_1 $ de $ A_1 $ par rapport à l'axe des abscisses. On trace les cercles de centre $ O $ de rayon $ OA_1 $ et de centre $ A_0 $ de rayon $ A_0 A_1 $. Ces deux cercles se coupent en $ A_1 $ et $ A'_1 $. On trace la droite $ (OA'_1) $, nommée $ (D) $ (en vert).
On trace ensuite la droite $ (A_1 A_2) $ et le cercle de centre $ A_1 $ de rayon $ R = OA_4 $. Ils se coupent en $ A'_4 $. On trace la droite $ (A'_4 A_4) $, nommée $ (D') $ (en rouge). Le point d'intersection de $ (D) $ et $ (D') $ est $ A_5 $.
Justification : L'argument de l'affixe de $ A_5 $ est $ 5\dfrac{\pi}{6} $. L'argument de l'affixe de $ A'_1 $, conjugué de l'affixe de $ A_1 $, vérifie $ \arg(z_{A'_1}) \equiv -\dfrac{\pi}{6} \equiv 11\dfrac{\pi}{6} \equiv \pi + 5\dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $. Donc $ A'_1 $ et $ A_5 $ sont alignés avec $ O $ sur la droite $ (D) $.
Les arguments des affixes de $ A_1 $ et $ A_4 $ diffèrent de $ 4\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} $. Donc $ (OA_1) $ et $ (OA_4) $ sont perpendiculaires. Par ailleurs, d'après 4.b, $ (A_1 A_2) $ est perpendiculaire à $ (OA_1) $. Donc $ (A_1 A_2) $ est parallèle à $ (OA_4) $. Par construction, $ A_1 A'_4 = OA_4 $. On en déduit que $ OA_1 A'_4 A_4 $ est un rectangle et que $ (A'_4 A_4) $ est perpendiculaire à $ (OA_4) $.
D'après 4.b, $ A_5 $ doit se trouver sur la droite $ (D') $ perpendiculaire à $ (OA_4) $.
Donc $ A_5 $ se trouve à l'intersection de $ (D) $ et $ (D') $.