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Sujet 0 - Suites et algorithmes

Exercice 8

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0 = 0 et un+1=3un+1u_{n+1} = 3u_n + 1 pour tout entier naturel nn. On considère la fonction calcul écrite dans le langage Python qui renvoie la valeur de unu_n : 

def calcul(n):
    u = 0
    for i in range(n):
        u = 3 * u + 1
    return u

On considère par ailleurs la fonction liste écrite dans le langage Python : 

def liste(n):
    l = [ ]
    for i in range(n):
        l.append(calcul(i))
    return l

Corrigé

  • Affirmation 1 : « l’appel liste(6) renvoie la liste [0, 1, 4, 13, 42, 121]. »

    Calculons les premiers termes de la suite (un)(u_n) pour vérifier cette affirmation.

    • u0=0u_0 = 0

    • u1=3u0+1=3⋅0+1=1u_1 = 3u_0 + 1 = 3 \cdot 0 + 1 = 1

    • u2=3u1+1=3⋅1+1=4u_2 = 3u_1 + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4

    • u3=3u2+1=3⋅4+1=13u_3 = 3u_2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13

    • u4=3u3+1=3⋅13+1=40u_4 = 3u_3 + 1 = 3 \cdot 13 + 1 = 40

    • u5=3u4+1=3⋅40+1=121u_5 = 3u_4 + 1 = 3 \cdot 40 + 1 = 121

    La liste obtenue pour liste(6) est donc [0, 1, 4, 13, 40, 121].

    L'affirmation est donc fausse.

  • Affirmation 2 : « pour tout entier naturel nn, un=12×3n−12u_n = \frac{1}{2} \times 3^n - \frac{1}{2}. »

    Nous allons démontrer cette affirmation par récurrence.

    Initialisation :
    Pour n=0n = 0 :

    u0=0 u_0 = 0 et

    12×30−12=12×1−12=0 \frac{1}{2} \times 3^0 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 1 - \frac{1}{2} = 0

    La formule est donc vraie pour n=0n = 0.

    Hérédité :
    Supposons que pour un entier kk, la formule est vraie :

    uk=12×3k−12 u_k = \frac{1}{2} \times 3^k - \frac{1}{2}

    Montrons qu'elle est vraie pour k+1k+1 :

    uk+1=3uk+1 u_{k+1} = 3u_k + 1

    En remplaçant uku_k par son expression :

    uk+1=3(12×3k−12)+1 u_{k+1} = 3\left( \frac{1}{2} \times 3^k - \frac{1}{2} \right) + 1

    uk+1=32×3k−32+1 u_{k+1} = \frac{3}{2} \times 3^k - \frac{3}{2} + 1

    uk+1=3k+12−32+1 u_{k+1} = \frac{3^{k+1}}{2} - \frac{3}{2} + 1

    uk+1=3k+12−12 u_{k+1} = \frac{3^{k+1}}{2} - \frac{1}{2}

    La formule est donc vraie pour k+1k+1.

    Par récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel nn.

    L'affirmation est donc vraie.

  • Affirmation 3 : « pour tout entier naturel nn, un+1−unu_{n+1} - u_n est une puissance de 3. »

    Utilisons le résultat de l'affirmation 2 pour démontrer cette affirmation.

    D'après l'affirmation 2 :

    un=12×3n−12 u_n = \frac{1}{2} \times 3^n - \frac{1}{2}

    un+1=12×3n+1−12 u_{n+1} = \frac{1}{2} \times 3^{n+1} - \frac{1}{2}

    Calculons un+1−unu_{n+1} - u_n :

    un+1−un=(12×3n+1−12)−(12×3n−12) u_{n+1} - u_n = \left(\frac{1}{2} \times 3^{n+1} - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} \times 3^n - \frac{1}{2}\right)

    un+1−un=12×3n+1−12−12×3n+12 u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2} \times 3^{n+1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times 3^n + \frac{1}{2}

    un+1−un=12×3n+1−12×3n u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2} \times 3^{n+1} - \frac{1}{2} \times 3^n

    un+1−un=12×3n×(3−1) u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2} \times 3^n \times (3 - 1)

    un+1−un=12×3n×2 u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2} \times 3^n \times 2

    un+1−un=3n u_{n+1} - u_n = 3^n

    L'affirmation est donc vraie.

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