1 – Caractéristiques d’une suite géométrique
Définition
On dit qu’une suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} est une suite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que :
pour tout n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=q \times u_{n}
Le réel q s’appelle la raison de la suite géométrique \left(u_{n}\right).
Remarque
Pour démontrer qu’une suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport \frac{u_{n+1}}{u_{n}}.
Si ce rapport est une constante q, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison q.
Exemple
Soit la suite \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} définie par u_{n}=\frac{3}{2^{n}}.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3}{2^{n+1}}\times \frac{2^{n}}{3}=\frac{2^{n}}{2^{n+1}}=\frac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\frac{1}{2}
La suite \left(u_{n}\right) est une suite géométrique de raison \frac{1}{2}
Propriété
Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite \left(u_{n}\right) est géométrique de raison q :u_{n}=u_{k}\times q^{n-k}.
En particulier u_{n}=u_{0}\times q^{n}.
Propriété
Réciproquement, soient a et b deux nombres réels. La suite \left(u_{n}\right) définie par u_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q=b et de premier terme u_{0}=a.
Démonstration
u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times bet
u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=aThéorème
Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme strictement positif :
Si q >1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante
Si 0 < q <1, la suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante
Si q=1, la suite \left(u_{n}\right) est constante
Théorème
Si \left(u_{n}\right) et \left(v_{n}\right) sont deux suites géométriques de raison respectives q et q^{\prime} alors le produit \left(w_{n}\right) de ces deux suites défini par :
w_{n}=u_{n}\times v_{n}est une suite géométrique de raison q^{\prime\prime}=q\times q^{\prime}
2 – Somme des puissances successives d’un nombre
Théorème
Soit q un nombre réel différent de 1:
Remarque
Cette formule n’est pas valable pour q=1. Mais dans ce cas le calcul est immédiat car tous les termes sont égaux à 1.
Exemple
Soit à calculer la somme S=1+2+4+8+16 + . . .+2^{n}
Donc:
S=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=\frac{1-2^{n+1}}{-1}=2^{n+1}-13 – Limite de la suite \left(q^{n}\right) où q\geqslant 0
Théorème
Soit q un nombre réel positif.
Si q > 1 : alors q^{n} est aussi grand que l’on veut dès que n est suffisamment grand. On dit que la suite \left(q^{n}\right) tend vers +\infty et on écrit :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = +\infty ( ou \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = +\infty )
Si 0 \leqslant q < 1 : alors q^{n} est aussi proche de zéro que l’on veut dès que n est suffisamment grand. On dit que la suite \left(q^{n}\right) tend vers 0 et on écrit :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = 0 ( ou \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = 0)
Remarque
Pour q=1 q^{n}=1^{n}=1; la suite est constante, égale à 1, et tend donc vers 1;
4 – Suites arithmético-géométriques
Définition
Une suite arithmético-géométrique u_{n} est définie par son premier terme u_{0} et une relation de récurrence du type :
u_{n+1} = a\times u_{n}+b pour tout entier n
où a et b sont deux nombres réels.
Remarque
Attention : Ces suites ne sont ni arithmétiques (sauf si a=1) ni géométriques (sauf si b=0).
Propriété
Il existe un nombre réel k tel que la suite v_{n} définie, pour tout entier n, par v_{n}=u_{n}+k soit une suite géométrique de raison a.
Remarques
En général, dans les exercices, le nombre k vous sera donné (et si ce n’est pas le cas on vous indiquera une démarche pour le trouver). On vous demandera de prouver que v_{n} est une suite géométrique de raison a.
Puisque v_{n}=u_{n}+k, pour tout entier n, on a en particulier v_{0}=u_{0}+k ce qui permet de connaître le premier terme de la suite v_{n}.
v_{n}=u_{n}+k signifie aussi que u_{n}=v_{n}-k.
Donc une fois que l’on connaît v_{n} on peut trouver u_{n} (voir exemple ci-dessous)
Exemple détaillé
Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=5 et u_{n+1}=0,6u_{n}+4.
Montrer que la suite \left(v_{n}\right) définie par v_{n}=u_{n}-10 est une suite géométrique.
En déduire l’expression de u_{n} en fonction de n.
Montrons que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique Pour montrer que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique on va calculer v_{n+1} en fonction de v_{n}.
v_{n}=u_{n}-10 pour tout entier n donc :
v_{n+1}=u_{n+1}-10or on sait que
u_{n+1}=0,6u_{n}+4donc
v_{n+1}=0,6u_{n}+4-10 = 0,6u_{n}-6Ici, une petite astuce consiste à mettre 0,6 en facteur (on peut également dire que u_{n}=v_{n}+10 et remplacer u_{n} par v_{n}+10)
v_{n+1}=0,6u_{n}-0,6\times 10=0,6\left(u_{n}-10\right)=0,6v_{n}On a bien une relation du type v_{n+1}=q\times v_{n} avec q=0,6 ce qui montre que la suite \left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 0,6.
Expression de u_{n} en fonction de n Par ailleurs, v_{0}=u_{0}-10=5-10=-5
\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de premier terme v_{0}=5 et de raison q=0,6 donc pour tout entier n:
v_{n}=v_{0}\times q^{n}=-5\times 0,6^{n}Comme u_{n}=v_{n}+10, on obtient finalement :
u_{n}=-5\times 0,6^{n}+10
