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Sujet 0 - Suites

Exercice 6

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la suite (un)(u_n) définie par :

u0=1 u_0 = 1

un+1=un1+2un u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + 2u_n}

pour tout entier naturel nn

  1. Affirmation 1 : « u4=19u_4 = \frac{1}{9}. »

  2. Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel nn, un=12n+1u_n = \frac{1}{2n + 1}. »

  3. Affirmation 3 : « La suite numérique (un)(u_n) est minorée par 10−1010^{ - 10}. »

Corrigé

  1. Affirmation 1 : « u4=19u_4 = \frac{1}{9}. »

    Pour vérifier cette affirmation, calculons les premiers termes de la suite (un)(u_n) :
    u0=1, u_0 = 1,
    u1=u01+2u0=11+2×1=13, u_1 = \frac{u_0}{1 + 2u_0} = \frac{1}{1 + 2 \times1} = \frac{1}{3},

    u2=u11+2u1=131+2×13=131+23=1353=15, u_2 = \frac{u_1}{1 + 2u_1} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + 2 \times\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{5},

    u3=u21+2u2=151+2×15=151+25=1575=17, u_3 = \frac{u_2}{1 + 2u_2} = \frac{\frac{1}{5}}{1 + 2 \times\frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{1}{7},

    u4=u31+2u3=171+2×17=171+27=1797=19 u_4 = \frac{u_3}{1 + 2u_3} = \frac{\frac{1}{7}}{1 + 2 \times\frac{1}{7}} = \frac{\frac{1}{7}}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{9}{7}} = \frac{1}{9}

    Ainsi, u4=19u_4 = \frac{1}{9} est vrai.

  2. Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel nn, un=12n+1u_n = \frac{1}{2n + 1}. »

    Montrons par récurrence que un=12n+1u_n = \frac{1}{2n + 1} pour tout nn. Initialisation : pour n=0n = 0,

    u0=1=12×0+1 u_0 = 1 = \frac{1}{2 \times 0 + 1}

    La propriété est vraie au rang 0.

    Hérédité : Supposons que pour un kk donné, uk=12k+1u_k = \frac{1}{2k + 1}. Montrons que uk+1=12(k+1)+1u_{k+1} = \frac{1}{2(k+1) + 1}.

    Par définition de la suite (un) (u_n)  :

    uk+1=uk1+2uk u_{k+1} = \frac{u_k}{1 + 2u_k}

    En utilisant l'hypothèse de récurrence :
    uk+1=12k+11+2⋅12k+1=12k+11+22k+1u_{k+1} = \frac{\frac{1}{2k + 1}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2k + 1}} = \frac{\frac{1}{2k + 1}}{1 + \frac{2}{2k + 1}} =12k+12k+1+22k+1=12k+12k+32k+1=12k+3= \frac{\frac{1}{2k + 1}}{\frac{2k + 1 + 2}{2k + 1}} = \frac{\frac{1}{2k + 1}}{\frac{2k + 3}{2k + 1}} = \frac{1}{2k + 3}

    Cela prouve que uk+1=12k+3u_{k+1} = \frac{1}{2k + 3}.

    Conclusion : Donc, par récurrence, un=12n+1u_n = \frac{1}{2n + 1} pour tout entier naturel nn.

    L'affirmation 2 est donc vraie.

  3. Affirmation 3 : « La suite numérique (un)(u_n) est minorée par 10−1010^{ - 10}. »

    La suite (un) (u_n) est à termes positifs et d'après la question précédente il est facile de remarquer qu'elle est strictement décroissante ; donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (un) (u_n) est convergente.

    Si l'on suppose que cette suite est minorée par 10−1010^{ - 10}, cela entraîne que sa limite est supérieure ou égale à 10−1010^{ - 10} ; or, d'après la question précédente, on constate que limn→+∞un=0 \lim\limits_{ n \rightarrow +\infty } u_n= 0 .

    On aboutit alors à une contradiction.

    L'affirmation 3 est donc fausse.

Conclusion :

  • Vrai : u4=19u_4 = \frac{1}{9}.

  • Vrai : un=12n+1u_n = \frac{1}{2n + 1} pour tout entier naturel nn.

  • Faux : La suite (un)(u_n) n'est pas minorée par 10−1010^{ - 10}.

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