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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction mathématique définie par f(x)=exf(x) = e^x, où e2.718e \approx 2.718. Cette fonction possède la propriété d'être égale à sa fonction dérivée.

Elle se caractérise par une croissance exponentielle rapide et est utilisée dans de nombreux domaines, y compris la finance, la biologie, et la physique. Comprendre ses propriétés et retenir l'allure de son graphique est essentiel pour les chapitres suivants .

1. Définition de la fonction exponentielle

Théorème et Définition

Il existe une unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que f=ff^{\prime}=f et f(0)=1f\left(0\right)=1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle (de base e) et notée exp\text{exp}.

Remarque

L'existence d'une telle fonction est admise.

Son unicité est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Notation

On note e=exp(1)\text{e}=\text{exp}\left(1\right).

On démontre que pour tout entier relatif nZn \in \mathbb{Z} : exp(n)=en\text{exp}\left(n\right)=\text{e}^{n}

Cette propriété conduit à noter ex\text{e}^{x} l'exponentielle de xx pour tout xRx \in \mathbb{R}

Remarque

On démontre (mais c'est hors programme) que e(2,71828...)\text{e} \left(\approx 2,71828 . . . \right) est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.

2. Etude de la fonction exponentielle

Propriété

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Remarque

Cette propriété très importante est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Propriété

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II.

Alors la fonction f :xeu(x) f~: x\mapsto \text{e}^{u\left(x\right)} est dérivable sur II et :

f=ueuf^{\prime}=u^{\prime}\text{e}^{u}

Exemple

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=exf\left(x\right)=\text{e}^{ - x}

ff est dérivable sur R\mathbb{R} et f(x)=exf^{\prime}\left(x\right)= - \text{e}^{ - x}

Limites

  • limxex=0\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=0

  • limx+ex=+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty

Remarques

  • Ces résultats sont démontrés dans l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle

  • On déduit des résultats précédents le tableau de variation et l'allure de la courbe de la fonction exponentielle:

Fonction exponentielle~: tableau de variation

Tableau de variation de la fonction exponentielle

Fonction exponentielle~: graphique

Graphique de la fonction exponentielle

Théorème ( «Croissance comparée»)

  • limxxex=0\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x\text{e}^{x}=0

  • limx+exx=+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty

  • limx0ex1x=1\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x} - 1}{x}=1

Remarques

  • Voir, à nouveau, l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle pour la démonstration des deux premières formules.

  • Les deux premières formules peuvent se généraliser de la façon suivante :

    Pour tout entier n>0n > 0 :

    limxxnex=0 \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{n}\text{e}^{x}=0

    limx+exxn=+ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty

  • La troisième formule s'obtient en utilisant la définition du nombre dérivé pour x=0 : (voir Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé).

    limx0ex1x=exp(0)=exp(0)=1\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x} - 1}{x}=\text{exp}^{\prime}\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)=1

Théorème

La fonction exponentielle étant strictement croissante, si aa et bb sont deux réels :

  • ea=eb\text{e}^{a}=\text{e}^{b} si et seulement si a=ba=b

  • ea<eb\text{e}^{a} < \text{e}^{b} si et seulement si a<b a < b

Remarque

Ces résultats sont extrêmement utiles pour résoudre équations et inéquations.

3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés

Pour tout réels aa et bb et tout entier nZn \in \mathbb{Z} :

  • ea+b=ea×eb\text{e}^{a+b}=\text{e}^{a} \times \text{e}^{b}

  • ea=1ea\text{e}^{ - a}=\frac{1}{\text{e}^{a}}

  • eab=eaeb\text{e}^{a - b}=\frac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}}

  • (ea)n=ena\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na}

Remarques

  • Ces propriétés sont démontrées dans l'exercice : [ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Elles sont similaires aux propriétés des puissances vues au collège (et justifient la notation ex\text{e}^{x})

  • Si l'on pose a=12a=\frac{1}{2} et n=2n=2 dans la formule (ea)n=ena\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} on obtient (e12)2=e1=e\left(\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}\right)^{2}=\text{e}^{1}=\text{e} donc comme e12>0\text{e}^{^{\frac{1}{2}}} > 0 : e12=e\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\text{e}}