Fonction exponentielle
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La fonction exponentielle est la fonction notée $ \text{exp} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ \text{exp}(x)=\text{e}^{x} $, où $ \text{e} \approx 2{,}718 $. Elle possède la propriété remarquable d'être égale à sa fonction dérivée.
Elle se caractérise par une croissance rapide et intervient dans de nombreux domaines : finance, biologie, physique. Comprendre ses propriétés algébriques et retenir l'allure de sa courbe représentative est essentiel pour les chapitres suivants.
1. Définition de la fonction exponentielle
Théorème et Définition
Il existe une unique fonction $ f $ dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $ f^{\prime}=f $ et $ f(0)=1 $.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée $ \text{exp} $.
Remarque
L'existence d'une telle fonction est admise.
Son unicité est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle.
Notation
On note $ \text{e}=\text{exp}(1) $.
On démontre que pour tout entier relatif $ n \in \mathbb{Z} $ : $ \text{exp}(n)=\text{e}^{n} $.
Cette propriété conduit à noter $ \text{e}^{x} $ l'exponentielle de $ x $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.
Remarque
On démontre (mais c'est hors programme) que $ \text{e} \approx 2{,}71828\ldots $ est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction.
2. Signe, variation et courbe
Signe et sens de variation
La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.
Remarque
Cette propriété est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle.
Tableau de variation de la fonction exponentielle
Courbe representative de la fonction exponentielle
Équations et inéquations
La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour tous réels $ a $ et $ b $ :
- $ \text{e}^{a}=\text{e}^{b} $ si et seulement si $ a=b $.
- $ \text{e}^{a} < \text{e}^{b} $ si et seulement si $ a < b $.
Exemple
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ \text{e}^{2x+1}=\text{e}^{x-3} $.
D'après le théorème précédent :
L'ensemble des solutions est $ S=\{-4\} $.
3. Dérivée de $ \text{e}^{ax+b} $
Dérivée de $\text{e}^{ax+b}$
Soient $ a $ et $ b $ deux réels. La fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f(x)=\text{e}^{ax+b} $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et, pour tout $ x \in \mathbb{R} $ :
Exemple
Soit $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f(x)=\text{e}^{-x} $ (cas $ a=-1 $, $ b=0 $).
Alors $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et, pour tout $ x \in \mathbb{R} $ : $ f^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x} $.
Exemple
Soit $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ g(x)=\text{e}^{3x-2} $ (cas $ a=3 $, $ b=-2 $).
Alors $ g^{\prime}(x)=3\,\text{e}^{3x-2} $.
4. Propriétés algébriques
Propriétés algébriques
Pour tous réels $ a $ et $ b $ et tout entier $ n \in \mathbb{Z} $ :
- $ \text{e}^{a+b}=\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} $
- $ \text{e}^{-a}=\dfrac{1}{\text{e}^{a}} $
- $ \text{e}^{a-b}=\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} $
- $ \left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} $
Remarque
Ces propriétés sont démontrées dans l'exercice : [ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Elles sont analogues aux propriétés des puissances vues au collège (et justifient la notation $ \text{e}^{x} $).
Exemple
Simplifier $ A = \text{e}^{3} \times \text{e}^{-2} $ et $ B = \dfrac{\text{e}^{2x+1}}{\text{e}^{x-2}} $.
$ A = \text{e}^{3+(-2)}=\text{e}^{1}=\text{e} $.
$ B = \text{e}^{(2x+1)-(x-2)}=\text{e}^{x+3} $.
Remarque
En posant $ a=\dfrac{1}{2} $ et $ n=2 $ dans la formule $ \left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} $, on obtient $ \left(\text{e}^{1/2}\right)^{2}=\text{e}^{1}=\text{e} $. Comme $ \text{e}^{1/2}>0 $, on en déduit que $ \text{e}^{1/2}=\sqrt{\text{e}} $.
5. Lien avec les suites géométriques
Suite $(\text{e}^{na})$
Soit $ a $ un réel fixé. La suite $ (u_n) $ définie pour tout $ n \in \mathbb{N} $ par $ u_n=\text{e}^{na} $ est une suite géométrique de premier terme $ u_0=1 $ et de raison $ q=\text{e}^{a} $.
Remarque
En effet, pour tout entier $ n $ : $ u_{n+1}=\text{e}^{(n+1)a}=\text{e}^{na+a}=\text{e}^{na}\times \text{e}^{a}=\text{e}^{a}\times u_n $.
Ce résultat établit un pont entre la croissance géométrique à temps discret (suites) et la croissance exponentielle à temps continu (fonction exponentielle).
Exemple
Un capital de $ 1\,000 $ € placé au taux annuel de $ 3\% $ est multiplié chaque année par $ 1{,}03 $. En posant $ a=\ln(1{,}03) $ (vu en Terminale), on peut aussi écrire la suite des capitaux sous la forme $ C_n = 1\,000\,\text{e}^{na} $ : l'évolution discrète est bien une suite géométrique.
6. Pour aller plus loin (Terminale)
Anticipation Terminale
Les résultats ci-dessous ne sont pas exigibles en Première : ils sont étudiés en Terminale mais sont rappelés ici à titre d'information.
Limites (Terminale)
- $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\text{e}^{x}=0 $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\text{e}^{x}=+\infty $
Croissances comparées (Terminale)
- $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x\,\text{e}^{x}=0 $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty $
- $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x}=1 $
Remarque
La troisième formule s'obtient en utilisant la définition du nombre dérivé de la fonction $ \text{exp} $ en $ 0 $ :
Les questions essentielles
1. Comment simplifier une expression contenant des exponentielles ?
On applique les propriétés algébriques ($ \text{e}^{a+b}=\text{e}^{a}\text{e}^{b} $, $ \text{e}^{a-b}=\text{e}^{a}/\text{e}^{b} $, $ \left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} $) pour regrouper l'expression en une seule exponentielle puis réduire l'exposant.
Voir la fiche méthode : Simplifier une expression avec la fonction exponentielle
2. Comment résoudre une équation ou une inéquation avec la fonction exponentielle ?
La fonction exponentielle étant strictement croissante, on peut passer des exposants aux équations ou inéquations équivalentes : $ \text{e}^{A}=\text{e}^{B}\iff A=B $ et $ \text{e}^{A}<\text{e}^{B}\iff A<B $.
Voir la fiche méthode : Résoudre une équation ou une inéquation avec la fonction exponentielle
3. Comment dériver une fonction de la forme $\text{e}^{ax+b}$ ?
On applique la formule $ \left(\text{e}^{ax+b}\right)^{\prime}=a\,\text{e}^{ax+b} $. Le signe de la dérivée dépend alors uniquement du signe de $ a $, ce qui donne directement les variations.
Voir la fiche méthode : Dériver une fonction de la forme $\text{e}^{ax+b}$
4. Quel est le lien entre une suite géométrique et la fonction exponentielle ?
Toute suite définie par $ u_{n}=\text{e}^{na} $ est géométrique de raison $ \text{e}^{a} $. On passe ainsi d'une modélisation discrète (suite) à une modélisation continue (fonction exponentielle).
Voir la fiche méthode : Lier une suite géométrique et la fonction exponentielle