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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est une fonction mathématique définie par f(x)=exf(x) = e^x, où e≈2.718e \approx 2.718. Cette fonction possède la propriété d'être égale à sa fonction dérivée.

Elle se caractérise par une croissance exponentielle rapide et est utilisée dans de nombreux domaines, y compris la finance, la biologie, et la physique. Comprendre ses propriétés et retenir l'allure de son graphique est essentiel pour les chapitres suivants .

1. Définition de la fonction exponentielle

Théorème et Définition

Il existe une unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′=ff^{\prime}=f et f(0)=1f\left(0\right)=1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle (de base e) et notée exp\text{exp}.

Remarque

L'existence d'une telle fonction est admise.

Son unicité est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Notation

On note e=exp(1)\text{e}=\text{exp}\left(1\right).

On démontre que pour tout entier relatif n∈Zn \in \mathbb{Z} : exp(n)=en\text{exp}\left(n\right)=\text{e}^{n}

Cette propriété conduit à noter ex\text{e}^{x} l'exponentielle de xx pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}

Remarque

On démontre (mais c'est hors programme) que e(≈2,71828...)\text{e} \left(\approx 2,71828 . . . \right) est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.

2. Etude de la fonction exponentielle

Propriété

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Remarque

Cette propriété très importante est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Propriété

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II.

Alors la fonction f :x↦eu(x) f~: x\mapsto \text{e}^{u\left(x\right)} est dérivable sur II et :

f′=u′euf^{\prime}=u^{\prime}\text{e}^{u}

Exemple

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e−xf\left(x\right)=\text{e}^{ - x}

ff est dérivable sur R\mathbb{R} et f′(x)=−e−xf^{\prime}\left(x\right)= - \text{e}^{ - x}

Limites

  • limx→−∞ex=0\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=0

  • limx→+∞ex=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty

Remarques

  • Ces résultats sont démontrés dans l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle

  • On déduit des résultats précédents le tableau de variation et l'allure de la courbe de la fonction exponentielle:

Fonction exponentielle~: tableau de variation

Tableau de variation de la fonction exponentielle

Fonction exponentielle~: graphique

Graphique de la fonction exponentielle

Théorème ( «Croissance comparée»)

  • limx→−∞xex=0\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x\text{e}^{x}=0

  • limx→+∞exx=+∞\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty

  • limx→0ex−1x=1\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x} - 1}{x}=1

Remarques

  • Voir, à nouveau, l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle pour la démonstration des deux premières formules.

  • Les deux premières formules peuvent se généraliser de la façon suivante :

    Pour tout entier n>0n > 0 :

    limx→−∞xnex=0 \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{n}\text{e}^{x}=0

    limx→+∞exxn=+∞ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty

  • La troisième formule s'obtient en utilisant la définition du nombre dérivé pour x=0 : (voir Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé).

    limx→0ex−1x=exp′(0)=exp(0)=1\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x} - 1}{x}=\text{exp}^{\prime}\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)=1

Théorème

La fonction exponentielle étant strictement croissante, si aa et bb sont deux réels :

  • ea=eb\text{e}^{a}=\text{e}^{b} si et seulement si a=ba=b

  • ea<eb\text{e}^{a} < \text{e}^{b} si et seulement si a<b a < b

Remarque

Ces résultats sont extrêmement utiles pour résoudre équations et inéquations.

3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés

Pour tout réels aa et bb et tout entier n∈Zn \in \mathbb{Z} :

  • ea+b=ea×eb\text{e}^{a+b}=\text{e}^{a} \times \text{e}^{b}

  • e−a=1ea\text{e}^{ - a}=\frac{1}{\text{e}^{a}}

  • ea−b=eaeb\text{e}^{a - b}=\frac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}}

  • (ea)n=ena\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na}

Remarques

  • Ces propriétés sont démontrées dans l'exercice : [ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Elles sont similaires aux propriétés des puissances vues au collège (et justifient la notation ex\text{e}^{x})

  • Si l'on pose a=12a=\frac{1}{2} et n=2n=2 dans la formule (ea)n=ena\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} on obtient (e12)2=e1=e\left(\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}\right)^{2}=\text{e}^{1}=\text{e} donc comme e12>0\text{e}^{^{\frac{1}{2}}} > 0 : e12=e\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\text{e}}

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