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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Algorithmes - Bac S Amérique du Nord 2014

Exercice 4   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un volume constant de 2 200 m3 \text{m}^{3} d'eau est réparti entre deux bassins A et B.

Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

Pour tout entier naturel nn, on note :

On a donc a0=800a_{0} = 800 et b0=1400b_{0} = 1 400.

  1. Par quelle relation entre ana_{n} et bnb_{n} traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?

  2. Justifier que, pour tout entier naturel nn, an+1=34an+330a_{n+1} =\frac{3}{4}a_{n} + 330.

  3. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de nn à partir de laquelle

    ana_{n} est supérieur ou égal à 1 100.

    Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.

    Variables nn est un entier naturel
    aa est un réel
    Initialisation Affecter à nn la valeur 00
    Affecter à aa la valeur 800800
    Traitement Tant que a<1100a < 1 100, faire :
    \quad Affecter à aa la valeur . . .
    \quad Affecter à nn la valeur n+1n + 1
    Fin Tant que
    Sortie Afficher nn

  4. Pour tout entier naturel nn, on note un=an1320u_{n} = a_{n} - 1 320.

    1. Montrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer unu_{n} en fonction de nn.

      En déduire que, pour tout entier naturel nn, an=1320520×(34)na_{n} = 1 320 - 520\times \left(\frac{3}{4}\right)^{n}.

    3. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau.

      Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.