Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions trigonométriques

1. Rappels

Dans toute la suite, le plan est muni d'un repère orthonormé (O;OI,OJ)\left(O ; \overrightarrow{OI} ,\overrightarrow{OJ}\right).
On oriente le cercle trigonométrique (cercle de centre OO et de rayon 1) dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Définition

Soit NN un point du cercle trigonométrique et xx une mesure en radians de l'angle (OI,ON)\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{ON}\right).

On appelle cosinus de xx, noté cosx\cos x l'abscisse du point NN.

On appelle sinus de xx, noté sinx\sin x l'ordonnée du point NN.

Remarque

Pour tout réel xx :

  • 1cosx1 - 1 \leqslant \cos x \leqslant 1

  • 1sinx1 - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1

  • (cosx)2+(sinx)2=1\left(\cos x\right)^{2} + \left(\sin x\right)^{2} = 1 (d'après le théorème de Pythagore).

Quelques valeurs de sinus et de cosinus

xx 00 π6\frac{\pi }{6} π4\frac{\pi }{4} π3\frac{\pi }{3} π2\frac{\pi }{2} π\pi
cosx\cos x 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00 1 - 1
sinx\sin x 00 12\frac{1}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 11 00

Théorème

Soit aa un réel fixé.

Les solutions de l'équation cos(x)=cos(a)\cos\left(x\right)=\cos\left(a\right) sont les réels de la forme :

a+2kπa+2k\pi ou a+2kπ - a+2k\pi kk décrit Z\mathbb{Z}

Les solutions de l'équation sin(x)=sin(a)\sin\left(x\right)=\sin\left(a\right) sont les réels de la forme :

a+2kπa+2k\pi ou πa+2kπ \pi - a+2k\pi kk décrit Z\mathbb{Z}

Exemple

Soit l'équation sin(x)=12\sin\left(x\right)=\frac{1}{2}.

Comme sinπ6=12\sin\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}, l'équation peut s'écrire sin(x)=sinπ6\sin\left(x\right)=\sin\frac{\pi }{6}.

D'après le théorème précédent, l'ensemble des solutions est :

S={π6+2kπ,5π6+2kπkZ}S=\left\{ \frac{\pi }{6}+2k\pi , \frac{5\pi }{6}+2k\pi | k\in \mathbb{Z} \right\}.

2. Fonctions sinus et cosinus

Définition

La fonction, définie sur R\mathbb{R}, qui à tout réel xx associe son cosinus : xcos(x)x\mapsto \cos\left(x\right) est appelée fonction cosinus.

La fonction, définie sur R\mathbb{R}, qui à tout réel xx associe son sinus : xsin(x)x\mapsto \sin\left(x\right) est appelée fonction sinus.

Formules de base

Pour tout réel xx :

  • cos(x+2π)=cos(x)\cos\left(x+2\pi \right)=\cos\left(x\right)

  • sin(x+2π)=sin(x)\sin\left(x+2\pi \right)=\sin\left(x\right).

On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π2\pi .

  • cos(x)=cos(x)\cos\left( - x\right)=\cos\left(x\right) (la fonction cosinus est paire)

  • sin(x)=sin(x)\sin\left( - x\right)= - \sin\left(x\right) (la fonction sinus est impaire)

  • cos(x+π)=cos(x)\cos\left(x+\pi \right)= - \cos\left(x\right)

  • sin(x+π)=sin(x)\sin\left(x+\pi \right)= - \sin\left(x\right)

  • cos(x+π2)=sin(x)\cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)= - \sin\left(x\right)

  • sin(x+π2)=cos(x)\sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos\left(x\right) .

Remarque

A partir des formules de base on peut montrer d'autres formules; par exemple :

cos(π2x)=cos(x+π2)=sin(x)=sin(x)\cos\left(\frac{\pi }{2} - x\right)=\cos\left( - x+\frac{\pi }{2}\right)= - \sin\left( - x\right)=\sin\left(x\right)

sin(π2x)=sin(x+π2)=cos(x)=cos(x)\sin\left(\frac{\pi }{2} - x\right)=\sin\left( - x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos\left( - x\right)=\cos\left(x\right)

etc.

Formules d'addition

Pour tous réels aa et bb :

  • cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right) - \sin\left(a\right) \sin\left(b\right)

  • sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right)+\cos\left(a\right) \sin\left(b\right)

Remarque

En remplaçant bb par b - b et en utilisant la parité des fonctions sinus et cosinus on obtient les formules de soustraction:

  • cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\cos\left(a - b\right)=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right)+\sin\left(a\right) \sin\left(b\right)

  • sin(ab)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)\sin\left(a - b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right) - \cos\left(a\right) \sin\left(b\right)

Propriété (formules de duplication)

Pour tout réel aa :

  • cos(2a)=cos2(a)sin2(a)=2cos2(a)1=12sin2(a)\cos\left(2a\right) = \cos^{2}\left(a\right) - \sin^{2}\left(a\right) = 2\cos^{2}\left(a\right) - 1 = 1 - 2\sin^{2}\left(a\right)

  • sin(2a)=2sin(a)cos(a)\sin\left(2a\right) = 2\sin\left(a\right) \cos\left(a\right).

Remarques

  • On démontre ces formules en posant b=ab=a dans les formules d'addition et en utilisant sin2(a)+cos2(a)=1\sin^{2}\left(a\right)+\cos^{2}\left(a\right)=1.

  • Rappel : sin2(a)\sin^{2}\left(a\right) et cos2(a)\cos^{2}\left(a\right) sont des écritures simplifiées pour (sin(a))2\left(\sin\left(a\right)\right)^{2} et (cos(a))2\left(\cos\left(a\right)\right)^{2}.

3. Etude des fonctions sinus et cosinus

Théorème

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R\mathbb{R} et leurs dérivées sont :

sin=cos\sin^{\prime}=\cos

cos=sin\cos^{\prime}= - \sin

Propriétés

Soient aa et bb deux réels quelconques. Les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb{R} par :

  • f:xsin(ax+b) f : x\mapsto \sin\left(ax+b\right)

  • g:xcos(ax+b) g : x\mapsto \cos\left(ax+b\right)

sont dérivables sur R\mathbb{R} et :

  • f(x)=acos(ax+b) f^{\prime}\left(x\right)=a \cos\left(ax+b\right)

  • g(x)=asin(ax+b) g^{\prime}\left(x\right)= - a \sin\left(ax+b\right)

Plus généralement, si uu est une fonction dérivable sur un intervalle II et ff et gg définies sur II par :

  • f:xsin(u(x)) f : x\mapsto \sin\left(u\left(x\right)\right)

  • g:xcos(u(x)) g : x\mapsto \cos\left(u\left(x\right)\right)

alors ff et gg sont dérivables sur II et :

  • f(x)=u(x)×cos(u(x)) f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)\times \cos\left(u\left(x\right)\right)

  • g(x)=u(x)×sin(u(x)) g^{\prime}\left(x\right)= - u^{\prime}\left(x\right)\times \sin\left(u\left(x\right)\right)

Remarque

C'est un cas particulier du théorème de dérivation de fonctions composées.

Limites

Les fonctions sinus et cosinus ne possèdent pas de limite quand x±x\rightarrow \pm\infty Par contre on démontre le résultat suivant :

limx0sin(x)x=1\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\left(x\right)}{x}=1

Remarque

Cette dernière limite peut s'obtenir en utilisant la définition du nombre dérivé de la fonction sinus pour x=0x=0 (voir fiche méthode Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé).

Les fonctions sinus et cosinus étant périodiques, il suffit de les étudier sur un intervalle d'amplitude 2π2\pi , par exemple [π;π]\left[ - \pi ; \pi \right].

Pour obtenir la courbe complète, on effectue ensuite des translations de vecteurs ±2πi\pm2\pi \vec{i}.

Fonction sinus

Tableau de variation de la fonction sinus

fonction sinus

Représentation graphique de la fonction sinus

Fonction cosinus

Tableau de variation de la fonction cosinus

fonction cosinus

Représentation graphique de la fonction cosinus

Remarque

La relation sin(x+π2)=cos(x)\sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos\left(x\right) montre que la courbe de la fonction sinus se déduit de la courbe de la fonction cosinus par une translation de vecteur π2i\frac{\pi }{2}\vec{i}.

fonction cosinus

Position relative des deux courbes