1. Loi normale centrée réduite
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite sur \mathbb{R} (notée \mathscr N \left(0;1\right)) si sa densité de probabilité f est définie par :
f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{x^{2}}{2}}}
Cela signifie que, pour tous réels a et b tels que a\leqslant b:
p\left(a\leqslant X\leqslant b\right)=\int_{a}^{ b}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt
Remarques
- On admet que f définit bien une densité, c’est à dire que l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative de f est égale à 1
- On a également :
p\left(X\geqslant a\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\int_{a}^{ x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt (limite que l’on peut noter : \int_{a}^{ +\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt )
p\left(X\leqslant b\right) =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\int_{x}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt (limite que l’on peut noter : \int_{-\infty }^{ b}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt ) - La fonction f : x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{x^{2}}{2}}} est dérivable sur \mathbb{R}, paire, positive, son tableau de variation est :
et sa courbe représentative :
- p\left(a\leqslant X\leqslant b\right) est l’aire du domaine coloré ci-dessous :
- p\left(X\leqslant a\right) est l’aire du domaine coloré ci-dessous :
Propriétés
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite :
- L’espérance mathématique de X est E\left(X\right)=0 (loi centrée)
- La variance de X est \sigma \left(X\right)=1 (loi réduite)
Propriétés
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et \alpha un réel quelconque :
- p\left(X\leqslant 0\right)=p\left(X\geqslant 0\right)=0,5
- p\left(X\leqslant -a\right)=p\left(X\geqslant a\right)
- p\left(-\alpha \leqslant X\leqslant a\right)=1-2\times p\left(X\geqslant a\right)=2\times p\left(X\leqslant a\right)-1
Remarque
Ces propriétés résultent du fait que :
♦ la courbe de la fonction x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{x^{2}}{2}}} est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
♦ l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe est égale à 1.
On retrouve facilement ces propriétés à l’aide d’une figure par exemple pour la seconde formule :
p\left(X\leqslant -a\right)=p\left(X\geqslant a\right)
Propriété («Loi normale inverse»)
Soient X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et un réel k \in \left]0;1\right[ .
Il existe un unique réel m_{k} tel que p\left(X\leqslant m_{k}\right)=k
Remarque
On peut calculer les valeurs de m_{k} à la calculatrice
Théorème
Soient X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et un réel \alpha \in \left]0;1\right[ .
Il existe un unique réel u_\alpha tel que p\left(-u_\alpha \leqslant X\leqslant u_\alpha \right)=1-\alpha
Remarques
- En utilisant la formule p\left(-\alpha \leqslant X\leqslant a\right)=2\times p\left(X\leqslant a\right)-1 et la «loi normale inverse» on peut calculer les valeurs de u_\alpha à la calculatrice
- Deux valeurs à retenir :
u_{0,05}=1,96 c’est à dire que p\left(-1.96\leqslant X\leqslant 1.96\right)=0,95
u_{0,01}=2,58 c’est à dire que p\left(-2,58\leqslant X\leqslant 2,58\right)=0,99
2. Loi normale générale
Définition et théorème
Soient deux réels \mu et \sigma > 0.
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres \mu et \sigma ^{2} (notée \mathscr N \left(\mu ; \sigma ^{2}\right)) si la variable aléatoire Y=\frac{X-\mu }{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.
L’espérance mathématique de X est \mu et son écart-type \sigma (et donc sa variance \sigma ^{2})
Remarque
La courbe représentative de la distribution d’une loi \mathscr N \left(\mu ; \sigma ^{2}\right) est une courbe «en cloche» qui admet la droite d’équation x=\mu comme axe de symétrie. Elle est plus ou moins «étirée» selon les valeurs de \sigma
\mu =3 et \sigma =0,5 ; 1 ; 2
Propriété (Règle des trois sigmas)
Si X suit une loi normale \mathscr N \left(\mu ; \sigma ^{2}\right) alors :
♦ p\left(\mu -\sigma \leqslant X\leqslant \mu + \sigma \right)\approx 0,68 (à 10^{-2} près)
♦ p\left(\mu -2\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 2\sigma \right)\approx 0,95 (à 10^{-2} près)
♦ p\left(\mu -3\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 3\sigma \right)\approx 0,997 (à 10^{-3} près)
Exemple
Si X suit une loi normale \mathscr N \left(11 ; 3^{2}\right) alors :
p\left(5\leqslant X\leqslant 17\right)\approx 0,95
3. Théorème de Moivre-Laplace
Théorème (Moivre-Laplace)
Soit X_{n} une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathscr B \left(n;p\right).
On pose Z_{n}=\frac{X_{n}-E\left(X_{n}\right)}{\sigma \left(X_{n}\right)}.
Alors pour tous réels a et b :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }p\left(a\leqslant Z_{n}\leqslant b\right)=\int_{a}^{ b}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^{-\frac{t^{2}}{2}}}dt
Remarques
- On rappelle que pour une loi binomiale X de paramètres n et p :E\left(X\right)=np et \sigma \left(X\right)^{2}=np\left(1-p\right). Z_{n} peut donc aussi s’écrire : Z_{n}=\frac{X_{n}-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}
- Ce théorème signifie que pour n élevé, la loi de Z_{n} est proche de la loi normale centrée réduite :
Histogramme de Z_{n} pour n=37 et p=0,5 et loi \mathscr N \left(0;1\right)
- En pratique, on considèrera que «n est suffisamment élevé» si n\geqslant 30; np\geqslant 5; n\left(1-p\right)\geqslant 5.
La loi binomiale X pourra alors être approximée par la loi normale \mathscr N \left(E\left(X\right);\sigma \left(X\right)^{2}\right)
Exemple
X suit une loi binomiale \mathscr B \left(30 ; 0,4\right).
On cherche à calculer p\left(7 < X \leqslant 17\right).
Soit Z=\frac{X-30\times 0.4}{\sqrt{30\times 0.4\times 0.6}}=\frac{X-12}{\sqrt{7,2}}
7 < X \leqslant 17 \Leftrightarrow -5 < X-12\leqslant 5 \Leftrightarrow -\frac{5}{\sqrt{7,2}} < \frac{X-30}{0,4}\leqslant \frac{5}{\sqrt{7,2}} \Leftrightarrow -1,86 < Z\leqslant 1,86
On a bien n\geqslant 30; np\geqslant 5; n\left(1-p\right)\geqslant 5. On peut donc approximer Z par une loi normale centrée réduite.
A la calculatrice on trouve alors :
p\left(-1,86 < Z \leqslant 1,86\right)\approx 0,937 (un calcul direct avec la loi binomiale donne 0,935)
