1 - Premier degré : Tableau de signes de ax+b
Rappels
- Une fonction de la forme x \longmapsto ax+b est une fonction affine.
- La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
- a s'appelle le coefficient directeur de la droite
- La fonction est croissante si le coefficient directeur est positif et décroissante s'il est négatif.
Méthode
- On recherche la valeur qui annule ax+b. Cette valeur est -\frac{b}{a} mais en général, plutôt que d'apprendre par cœur ce résultat, il est plus simple de résoudre directement l'équation ax+b=0
- On dresse le tableau de signes en inscrivant la solution trouvée sur la première ligne (correspondant à x) et en indiquant le 0 sur la seconde ligne (correspondant à ax+b)
- On place les signes dans l'ordre suivant :
- Si le coefficient directeur a est positif : - 0 +
- Si le coefficient directeur a est négatif : + 0 -
Remarque
On peut retenir l'ordre des signes grâce au raisonnement suivant :
- si le coefficient directeur a est positif, la fonction est croissante donc d'abord négative puis positive.
- si le coefficient directeur a est négatif, la fonction est décroissante donc d'abord positive puis négative.
Exemple 1
Dresser le tableau de signes de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=2x-4
- On recherche la valeur qui annule 2x-4:
2x-4 = 0 \Leftrightarrow 2x=4
\phantom{2x-4 = 0 } \Leftrightarrow x=\frac{4}{2}
\phantom{2x-4 = 0 } \Leftrightarrow x=2 - On dresse le tableau de signes :
x {-}\infty 2 +\infty 2x-4 0 - On place les signes :
Ici le coefficient directeur est a=2 donc positif.
L'ordre des signes est donc - 0 +
On obtient le tableau final :
x {-}\infty 2 +\infty 2x-4 - 0 +
Exemple 2
Dresser le tableau de signes de la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=3-x
- On recherche la valeur qui annule 3-x:
3-x = 0 \Leftrightarrow 3=x
\phantom{2x-4 = 0 } \Leftrightarrow x=3 - On dresse le tableau de signes :
x {-}\infty 3 +\infty 3-x 0 - On place les signes :
Attention ici à l'inversion de l'ordre des termes.
Le coefficient directeur est a=-1 donc négatif. En effet, 3-x=-1\times x+3.L'ordre des signes est donc + 0 -
Le tableau complet est alors :
x {-}\infty 3 +\infty 3-x + 0 -
2 - Produit de facteurs du premier degré
Remarque
Lorsque l'on cherche à étudier le signe d'un produit de facteurs, on évitera surtout de développer l'expression.
Au contraire si l'on a affaire à une expression développée, on essaiera de la factoriser (en recherchant un facteur commun ou une identité remarquable...)
Méthode
- On recherche les valeurs qui annulent chacun des facteurs
- On dresse le tableau de signes en plaçant un facteur par ligne et en réservant une ligne pour le produit. Puis, on inscrit les valeurs trouvées précédemment et les 0 sur les lignes correspondantes
- On place les signes comme indiqué dans le paragraphe précédent.
- On complète enfin la dernière ligne (produit) en utilisant la règle des signes de la multiplication vue au collège.
Dès qu'un facteur est nul, le produit est nul ; par conséquent, on obtiendra 0 pour chaque « séparation verticale » de la dernière ligne du tableau.
Exemple 3
Dresser le tableau de signes de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(3+x)(-2x+6)
- On recherche les valeurs qui annulent chacun des facteurs :
3+x = 0 \Leftrightarrow x=-3
-2x+6 = 0 \Leftrightarrow -2x=-6
\phantom{-2x+6 = 0 } \Leftrightarrow x=\frac{-6}{-2}
\phantom{-2x+6 = 0 } \Leftrightarrow x=3 - On dresse le tableau de signes :
x {-}\infty -3 3 +\infty x+3 0 -2x+6 0 (x+3)(-2x+6) - On place les signes :
Le coefficient directeur de x+3 est 1 donc positif.
L'ordre des signes pour x+3 est donc - 0 +Le coefficient directeur de -2x+6 est -2 donc négatif.
L'ordre des signes pour -2x+6 est donc + 0 -On complète le tableau ainsi :
x {-}\infty -3 3 +\infty x+3 - 0 + + -2x+6 + + 0 - (x+3)(-2x+6) - On complète enfin la dernière ligne en utilisant la règle des signes :
x {-}\infty -3 3 +\infty x+3 - 0 + + -2x+6 + + 0 - (x+3)(-2x+6) - 0 + 0 -
Exemple 4
Dresser le tableau de signes de l'expression x^3-x.
- L'expression x^3-x est sous forme développée. Il faut donc d'abord la factoriser.
On factorise d'abord x :
x^3-x=x(x^2-1)Puis on utilise l'identité remarquable : x^2-1=(x-1)(x+1)
x^3-x=x(x-1)(x+1)On recherche alors les valeurs qui annulent chacun des facteurs :
x = 0 \Leftrightarrow x=0 (hé oui !!!)
x -1= 0 \Leftrightarrow x=1
x +1= 0 \Leftrightarrow x=-1 - On peut commencer à dresser le tableau de signes :
x {-}\infty -1 0 1 +\infty x 0 x-1 0 x+1 0 x(x-1)(x+1) - On place les signes :
Pour chaque facteur, le coefficient directeur est 1 donc positif.
L'ordre des signes sera donc pour chaque ligne - 0 +x {-}\infty -1 0 1 +\infty x - - 0 + + x-1 - - - 0 + x+1 - 0 + + + x(x-1)(x+1) - On termine en utilisant la règle des signes :
x {-}\infty -1 0 1 +\infty x - - 0 + + x-1 - - - 0 + x+1 - 0 + + + x(x-1)(x+1) - 0 + 0 - 0 +
3 - Signe d'un quotient
Méthode
La méthode est similaire à celle du paragraphe précédent à une exception près:
Il faut étudier l'ensemble de définition du quotient. En effet, pour que le quotient soit défini, il faut que son dénominateur soit différent de 0.
Les valeurs « interdites » seront symbolisées par une double barre verticale sur la dernière ligne du tableau.
Exemple 5
Dresser le tableau de signes de l'expression \frac{1-x}{3x+12}.
- L'expression \frac{1-x}{3x+12} est définie si et seulement si 3x+12 est différent de 0.
Or :
3x+12=0 \Leftrightarrow 3x=-12
\phantom{3x+12=0 }\Leftrightarrow x=\frac{-12}{3}
\phantom{3x+12=0 }\Leftrightarrow x=-4Donc l'expression \frac{1-x}{3x+12} est définie sur \mathbb{R} \backslash \{-4\}. (si nécessaire, revoir la fiche : Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction)
Ensuite, on procède comme précédemment :
1-x = 0 \Leftrightarrow x=1
3x+12=0 \Leftrightarrow x=-4 (on vient de le faire !) - On dresse le tableau de signes :
x {-}\infty -4 1 +\infty 1-x 0 3x+12 0 \frac{1-x}{3x+12} - On place les signes :
1-x : coefficient directeur -1 (négatif) donne + 0 -
3x+12 : coefficient directeur 3 (positif) donne - 0 +x {-}\infty -4 1 +\infty 1-x + + 0 - 3x+12 - 0 + + \frac{1-x}{3x+12} - On termine en faisant attention à bien placer une double barre pour x=-4, valeur qui entraînerait une division par 0 (par contre, 1 n'est pas une valeur interdite car le numérateur peut très bien être nul !).
x {-}\infty -4 1 +\infty 1-x + + 0 - 3x+12 - 0 + + \frac{1-x}{3x+12} - + 0 -
La fiche méthode Inéquation avec quotients décrit la démarche à suivre dans ce cas.
