1. Définitions
Définition
Limite infinie quand x tend vers l’infini.
Soit f une fonction définie sur un intervalle \left[a; +\infty \right[.
On dit que que f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers +\infty lorsque pour x suffisamment grand, f\left(x\right) est aussi grand que l’on veut. On écrit alors que \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty .
Remarque
On définit de façon similaire les limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=-\infty ; \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f\left(x\right)=+\infty ; \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f\left(x\right)=-\infty .
Définition
Limite finie quand x tend vers l’infini.
Soit f une fonction définie sur un intervalle \left[a ; +\infty \right[.
On dit que que f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers +\infty lorsque pour x suffisamment grand, f\left(x\right) est aussi proche de l que l’on veut. On écrit alors que \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=l.
Remarque
On définit de façon similaire la limite \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f\left(x\right)=l.
Définition
Si \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left(x\right)=l ou \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l, on dit que la droite d’équation y=l est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f.
Exemple
Sur la courbe ci-dessus, la droite d’équation y=0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.
Définition
Limite infinie quand x tend vers un réel.
Soit f une fonction définie sur un intervalle \left]a; b\right[ (avec a < b).
On dit que que f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers a par valeurs supérieures lorsque f\left(x\right) est aussi grand que l’on veut quand x se rapproche de a en restant supérieur à a. On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow a \atop\scriptstyle x > a} f\left(x\right)=+\infty .
De même, on dit que que f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers b par valeurs inférieures lorsque f\left(x\right) est aussi grand que l’on veut quand x se rapproche de b en restant inférieur à b. On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow b^-} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow b \atop\scriptstyle x < b} f\left(x\right)=+\infty .
Enfin, si c\in \left]a;b\right[ , on dit que que f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers c si f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers c par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=+\infty .
Remarque
On définit de façon symétrique \lim\limits_{x\rightarrow a^-} f\left(x\right)=-\infty , \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=-\infty et \lim\limits_{x\rightarrow a} f\left(x\right)=-\infty en remplaçant « f\left(x\right) est aussi grand que l’on veut » par « f\left(x\right) est aussi petit que l’on veut » dans la définition.
Définition
Si \lim\limits_{x\rightarrow c^-}f\left(x\right)=\pm \infty ou \lim\limits_{x\rightarrow c^+}f\left(x\right)=\pm \infty ou \lim\limits_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=\pm \infty , on dit que la droite d’équation x=c est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f.
Exemple
Sur les trois courbes de la figure ci-dessous, la droite d’équation x=0 est asymptote verticale à la courbe représentative de f.
Définition
Limite finie quand x tend vers un réel.
Soit f une fonction définie sur un intervalle \left]a;b\right[ (avec a < b).
On dit que que f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers a par valeurs supérieures lorsque f\left(x\right) se rapproche de l quand x se rapproche de a en restant supérieur à a.
On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=l ou \lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow a \\ x > a\end{matrix}} f\left(x\right)=l.
De même, on dit que que f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers b par valeurs inférieures lorsque f\left(x\right) se rapproche de l quand x se rapproche de b en restant inférieur à b.
On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow b^-} f\left(x\right)=l ou \lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow b \\ x < b\end{matrix}} f\left(x\right)=l .
Enfin, si c\in \left]a; b\right[ , on dit que que f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers c si f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers c par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.
On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=l.
2. Limites usuelles
Propriétés
Pour tout entier n > 1 :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{n}=\left\{ \begin{matrix} -\infty \text{ si n est impair} \\ +\infty \text{ si n est pair} \end{matrix}\right.
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{n}=+\infty
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x^{n}}=0
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x^{n}}=0
\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\frac{1}{x}=-\infty
\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty .
3. Opérations sur les limites
Propriétés
Limite d’une somme.
a désigne un réel ou +\infty ou -\infty .
| \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) | \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) | \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)+g\left(x\right) |
| l | l^{\prime} | l+l^{\prime} |
| l | +\infty | +\infty |
| l | -\infty | -\infty |
| +\infty | +\infty | +\infty |
| -\infty | -\infty | -\infty |
| +\infty | -\infty | F.I. |
F.I. signifie forme indéterminée.
Remarque
« Forme indéterminée » ne signifie pas que la limite n’existe pas mais que les formules d’opérations sur les limites ne permettent pas de trouver directement limite. Pour la calculer, il faut alors « lever l’indétermination » par exemple en simplifiant une fraction (cf. fiches méthodes).
Propriétés
Limite d’un produit.
a désigne un réel ou +\infty ou -\infty .
| \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) | \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) | \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\times g\left(x\right) |
| l | l^{\prime} | l\times l^{\prime} |
| l\neq 0 | \pm \infty | \left(signe\right)\infty |
| \pm \infty | \pm \infty | \left(signe\right)\infty |
| 0 | \pm \infty | F.I. |
F.I. signifie forme indéterminée.
\pm \infty signifie que la formule s’applique pour +\infty et pour -\infty .
\left(signe\right)\infty signifie que l’on utilise la règle des signes usuelle :
+\times +=+
+\times -=-
-\times -=+
pour déterminer si la limite vaut +\infty ou -\infty .
Propriétés
Limite d’un quotient.
a désigne un réel ou +\infty ou -\infty .
| \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) | \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) | \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} |
| l | l^{\prime}\neq 0 | \frac{l}{l^{\prime}} |
| l\neq 0 | 0 | \left(signe\right)\infty |
| 0 | 0 | F.I. |
| l | \pm \infty | 0 |
| \pm \infty | l | \left(signe\right)\infty |
| \pm \infty | \pm \infty | F.I. |
Propriété
Limite d’une fonction composée.
a, b et c désignent des réels ou +\infty ou -\infty .
Si \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\color{red}{b} et \lim\limits_{x\rightarrow \color{red}{b}}g\left(x\right)=c alors :
\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=c.
Remarque
On pose souvent X=f\left(x\right) («changement de variable») et on écrit alors :
\lim\limits_{x\rightarrow a}X=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b
\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=\lim\limits_{X\rightarrow b}g\left(X\right)=c.
Exemple
On cherche à calculer :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1+x^{2}}.
On pose X=1+x^{2}. Alors :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }1+x^{2}=+\infty
et
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1+x^{2}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\sqrt{X}=+\infty .
4. Théorèmes de comparaison
Théorèmes
Si f\left(x\right)\geqslant g\left(x\right) sur un intervalle de la forme \left[a;+\infty \right[ et si \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=+\infty alors :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty .
Si f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) sur un intervalle de la forme \left[a;+\infty \right[ et si \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=-\infty alors :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=-\infty .
Théorème
Théorème des « gendarmes ».
Si g\left(x\right)\leqslant f\left(x\right)\leqslant h\left(x\right) sur un intervalle de la forme \left[a;+\infty \right[ et si \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }h\left(x\right)=l alors :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l.
Théorème des gendarmes
Remarque
On a des théorèmes similaires lorsque x \rightarrow -\infty .
