Limites d'une fonction

1. Définitions

Définition

Limite infinie quand $x$ tend vers l'infini.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\left[a; +\infty \right[$ .

On dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque pour $x$ suffisamment grand, $f\left(x\right)$ est aussi grand que l'on veut. On écrit alors que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty$ .

$limite infinie$

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty$

Remarque

On définit de façon similaire les limites :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)= - \infty$ ; $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f\left(x\right)=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f\left(x\right)= - \infty$ .

Définition

Limite finie quand $x$ tend vers l'infini.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\left[a ; +\infty \right[$ .

On dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque pour $x$ suffisamment grand, $f\left(x\right)$ est aussi proche de $l$ que l'on veut. On écrit alors que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=l$ .

$limite nulle$

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=0$

Remarque

On définit de façon similaire la limite $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f\left(x\right)=l$ .

Définition

Si $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }f\left(x\right)=l$ ou $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l$ , on dit que la droite d'équation $y=l$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction $f$ .

Exemple

Sur la courbe ci-dessus, la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ .

Définition

Limite infinie quand $x$ tend vers un réel.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\left]a; b\right[$ (avec $a < b$ ).

On dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures lorsque $f\left(x\right)$ est aussi grand que l'on veut quand $x$ se rapproche de $a$ en restant supérieur à $a$ . On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=+\infty$ ou $\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow a \atop\scriptstyle x > a} f\left(x\right)=+\infty$ .

De même, on dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $b$ par valeurs inférieures lorsque $f\left(x\right)$ est aussi grand que l'on veut quand $x$ se rapproche de $b$ en restant inférieur à $b$ . On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow b^ - } f\left(x\right)=+\infty$ ou $\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow b \atop\scriptstyle x < b} f\left(x\right)=+\infty$ .

Enfin, si $c\in \left]a;b\right[$ , on dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $c$ si $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $c$ par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=+\infty$ .

Remarque

On définit de façon symétrique $\lim\limits_{x\rightarrow a^ - } f\left(x\right)= - \infty$ , $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)= - \infty$ et $\lim\limits_{x\rightarrow a} f\left(x\right)= - \infty$ en remplaçant « $f\left(x\right)$ est aussi grand que l'on veut » par « $f\left(x\right)$ est aussi petit que l'on veut » dans la définition.

Définition

Si $\lim\limits_{x\rightarrow c^ - }f\left(x\right)=\pm \infty$ ou $\lim\limits_{x\rightarrow c^+}f\left(x\right)=\pm \infty$ ou $\lim\limits_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=\pm \infty$ , on dit que la droite d'équation $x=c$ est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$ .

Exemple

Sur les trois courbes de la figure ci-dessous, la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ .

$limite à droite et à gauche$

Définition

Limite finie quand x tend vers un réel.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\left]a;b\right[$ (avec $a < b$ ).

On dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures lorsque $f\left(x\right)$ se rapproche de $l$ quand x se rapproche de $a$ en restant supérieur à $a$ .

On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=l$ ou $\lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow a \\ x > a\end{matrix}} f\left(x\right)=l$ .

De même, on dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $b$ par valeurs inférieures lorsque $f\left(x\right)$ se rapproche de $l$ quand x se rapproche de $b$ en restant inférieur à $b$ .

On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow b^ - } f\left(x\right)=l$ ou $\lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow b \\ x < b\end{matrix}} f\left(x\right)=l$ .

Enfin, si $c\in \left]a; b\right[$ , on dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $c$ si $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $c$ par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.

On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=l$ .

2. Limites usuelles

Propriétés

Pour tout entier $n > 1$ :

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{n}=\left\{ \begin{matrix} - \infty \text{ si n est impair} \\ +\infty \text{ si n est pair} \end{matrix}\right.$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{n}=+\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\frac{1}{x^{n}}=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x^{n}}=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^ - }\frac{1}{x}= - \infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x} =+\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \text{e}^{ x } = 0$

3. Opérations sur les limites

Propriétés

Limite d'une somme.

$a$ désigne un réel ou $+\infty$ ou $- \infty$ .

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$	$\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right)$	$\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)+g\left(x\right)$
$l$	$l^{\prime}$	$l+l^{\prime}$
$l$	$+\infty$	$+\infty$
$l$	$- \infty$	$- \infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+\infty$	$- \infty$	$F.I.$

$F.I.$ signifie forme indéterminée.

Remarque

« Forme indéterminée » ne signifie pas que la limite n'existe pas mais que les formules d'opérations sur les limites ne permettent pas de trouver directement limite. Pour la calculer, il faut alors « lever l'indétermination » par exemple en simplifiant une fraction (cf. fiches méthodes).

Propriétés

Limite d'un produit.

$a$ désigne un réel ou $+\infty$ ou $- \infty$ .

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$	$\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right)$	$\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\times g\left(x\right)$
$l$	$l^{\prime}$	$l\times l^{\prime}$
$l\neq 0$	$\pm \infty$	$\left(signe\right)\infty$
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\left(signe\right)\infty$
$0$	$\pm \infty$	$F.I.$

$F.I.$ signifie forme indéterminée.
$\pm \infty$ signifie que la formule s'applique pour $+\infty$ et pour $- \infty$ .
$\left(signe\right)\infty$ signifie que l'on utilise la règle des signes usuelle :

$+\times +=+$

$+\times - = -$

$- \times - =+$

pour déterminer si la limite vaut $+\infty$ ou $- \infty$ .

Propriétés

Limite d'un quotient.

$a$ désigne un réel ou $+\infty$ ou $- \infty$ .

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$	$\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right)$	$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$
$l$	$l^{\prime}\neq 0$	$\frac{l}{l^{\prime}}$
$l\neq 0$	$0$	$\left(signe\right)\infty$
$0$	$0$	$F.I.$
$l$	$\pm \infty$	$0$
$\pm \infty$	$l$	$\left(signe\right)\infty$
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$F.I.$

Propriété

Limite d'une fonction composée.

$a$ , $b$ et $c$ désignent des réels ou $+\infty$ ou $- \infty$ .

Si $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\color{red}{b}$ et $\lim\limits_{x\rightarrow \color{red}{b}}g\left(x\right)=c$ alors :

$\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=c$ .

Remarque

On pose souvent $X=f\left(x\right)$ («changement de variable») et on écrit alors :

$\lim\limits_{x\rightarrow a}X=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b$

$\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=\lim\limits_{X\rightarrow b}g\left(X\right)=c$ .

Exemple

On cherche à calculer :

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\sqrt{1+x^{2}}$ .

On pose $X=1+x^{2}$ . Alors :

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }1+x^{2}=+\infty$

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\sqrt{1+x^{2}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\sqrt{X}=+\infty$ .

4. Théorèmes de comparaison

Théorèmes

Si $f\left(x\right)\geqslant g\left(x\right)$ sur un intervalle de la forme $\left[a;+\infty \right[$ et si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=+\infty$ alors :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty$ .
Si $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ sur un intervalle de la forme $\left[a;+\infty \right[$ et si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)= - \infty$ alors :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)= - \infty$ .

Théorème

Théorème des "gendarmes".

Si $g\left(x\right)\leqslant f\left(x\right)\leqslant h\left(x\right)$ sur un intervalle de la forme $\left[a;+\infty \right[$ et si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }h\left(x\right)=l$ alors :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l.$

$Théorème des gendarmes$

Théorème des gendarmes

Remarque

On a des théorèmes similaires lorsque $x \rightarrow - \infty$ .

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Limites d'une fonction

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2. Limites usuelles

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3. Opérations sur les limites

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4. Théorèmes de comparaison

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