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Cours

Limites d'une fonction

1. Définitions

Définition

Limite infinie quand x tend vers l'infini.

Soit f une fonction définie sur un intervalle \left[a; +\infty \right[.

On dit que que f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers +\infty lorsque pour x suffisamment grand, f\left(x\right) est aussi grand que l'on veut. On écrit alors que \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty .

limite infinie

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty

Remarque

On définit de façon similaire les limites :

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=-\infty ; \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f\left(x\right)=+\infty ; \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f\left(x\right)=-\infty .

Définition

Limite finie quand x tend vers l'infini.

Soit f une fonction définie sur un intervalle \left[a ; +\infty \right[.

On dit que que f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers +\infty lorsque pour x suffisamment grand, f\left(x\right) est aussi proche de l que l'on veut. On écrit alors que \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=l.

limite nulle

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=0

Remarque

On définit de façon similaire la limite \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f\left(x\right)=l.

Définition

Si \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left(x\right)=l ou \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l, on dit que la droite d'équation y=l est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f.

Exemple

Sur la courbe ci-dessus, la droite d'équation y=0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de f.

Définition

Limite infinie quand x tend vers un réel.

Soit f une fonction définie sur un intervalle \left]a; b\right[ (avec a < b).

On dit que que f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers a par valeurs supérieures lorsque f\left(x\right) est aussi grand que l'on veut quand x se rapproche de a en restant supérieur à a. On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow a \atop\scriptstyle x > a} f\left(x\right)=+\infty .

De même, on dit que que f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers b par valeurs inférieures lorsque f\left(x\right) est aussi grand que l'on veut quand x se rapproche de b en restant inférieur à b. On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow b^-} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow b \atop\scriptstyle x < b} f\left(x\right)=+\infty .

Enfin, si c\in \left]a;b\right[ , on dit que que f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers c si f\left(x\right) tend vers +\infty quand x tend vers c par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=+\infty .

Remarque

On définit de façon symétrique \lim\limits_{x\rightarrow a^-} f\left(x\right)=-\infty , \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=-\infty et \lim\limits_{x\rightarrow a} f\left(x\right)=-\infty en remplaçant « f\left(x\right) est aussi grand que l'on veut » par « f\left(x\right) est aussi petit que l'on veut » dans la définition.

Définition

Si \lim\limits_{x\rightarrow c^-}f\left(x\right)=\pm \infty ou \lim\limits_{x\rightarrow c^+}f\left(x\right)=\pm \infty ou \lim\limits_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=\pm \infty , on dit que la droite d'équation x=c est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f.

Exemple

Sur les trois courbes de la figure ci-dessous, la droite d'équation x=0 est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

limite à droite et à gauche

Définition

Limite finie quand x tend vers un réel.

Soit f une fonction définie sur un intervalle \left]a;b\right[ (avec a < b).

On dit que que f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers a par valeurs supérieures lorsque f\left(x\right) se rapproche de l quand x se rapproche de a en restant supérieur à a.

On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=l ou \lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow a \\ x > a\end{matrix}} f\left(x\right)=l.

De même, on dit que que f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers b par valeurs inférieures lorsque f\left(x\right) se rapproche de l quand x se rapproche de b en restant inférieur à b.

On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow b^-} f\left(x\right)=l ou \lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow b \\ x < b\end{matrix}} f\left(x\right)=l .

Enfin, si c\in \left]a; b\right[ , on dit que que f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers c si f\left(x\right) tend vers l quand x tend vers c par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.

On écrit alors \lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=l.

2. Limites usuelles

Propriétés

Pour tout entier n > 1 :

  • \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{n}=\left\{ \begin{matrix} -\infty \text{ si n est impair} \\ +\infty \text{ si n est pair} \end{matrix}\right.

  • \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{n}=+\infty

  • \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x^{n}}=0

  • \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x^{n}}=0

  • \lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\frac{1}{x}=-\infty

  • \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty

  • \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty .

3. Opérations sur les limites

Propriétés

Limite d'une somme.

a désigne un réel ou +\infty ou -\infty .

\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)+g\left(x\right)
l l^{\prime} l+l^{\prime}
l +\infty +\infty
l -\infty -\infty
+\infty +\infty +\infty
-\infty -\infty -\infty
+\infty -\infty F.I.

F.I. signifie forme indéterminée.

Remarque

« Forme indéterminée » ne signifie pas que la limite n'existe pas mais que les formules d'opérations sur les limites ne permettent pas de trouver directement limite. Pour la calculer, il faut alors « lever l'indétermination » par exemple en simplifiant une fraction (cf. fiches méthodes).

Propriétés

Limite d'un produit.

a désigne un réel ou +\infty ou -\infty .

\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\times g\left(x\right)
l l^{\prime} l\times l^{\prime}
l\neq 0 \pm \infty \left(signe\right)\infty
\pm \infty \pm \infty \left(signe\right)\infty
0 \pm \infty F.I.
  • F.I. signifie forme indéterminée.

  • \pm \infty signifie que la formule s'applique pour +\infty et pour -\infty .

  • \left(signe\right)\infty signifie que l'on utilise la règle des signes usuelle :

    +\times +=+

    +\times -=-

    -\times -=+

    pour déterminer si la limite vaut +\infty ou -\infty .

Propriétés

Limite d'un quotient.

a désigne un réel ou +\infty ou -\infty .

\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right) \lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}
l l^{\prime}\neq 0 \frac{l}{l^{\prime}}
l\neq 0 0 \left(signe\right)\infty
0 0 F.I.
l \pm \infty 0
\pm \infty l \left(signe\right)\infty
\pm \infty \pm \infty F.I.

Propriété

Limite d'une fonction composée.

a, b et c désignent des réels ou +\infty ou -\infty .

Si \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\color{red}{b} et \lim\limits_{x\rightarrow \color{red}{b}}g\left(x\right)=c alors :

\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=c.

Remarque

On pose souvent X=f\left(x\right) («changement de variable») et on écrit alors :

\lim\limits_{x\rightarrow a}X=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b

\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=\lim\limits_{X\rightarrow b}g\left(X\right)=c.

Exemple

On cherche à calculer :

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1+x^{2}}.

On pose X=1+x^{2}. Alors :

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }1+x^{2}=+\infty

et

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1+x^{2}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\sqrt{X}=+\infty .

4. Théorèmes de comparaison

Théorèmes

  • Si f\left(x\right)\geqslant g\left(x\right) sur un intervalle de la forme \left[a;+\infty \right[ et si \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=+\infty alors :

    \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty .

  • Si f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) sur un intervalle de la forme \left[a;+\infty \right[ et si \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=-\infty alors :

    \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=-\infty .

Théorème

Théorème des "gendarmes".

Si g\left(x\right)\leqslant f\left(x\right)\leqslant h\left(x\right) sur un intervalle de la forme \left[a;+\infty \right[ et si \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }h\left(x\right)=l alors :

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l.

Théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes

Remarque

On a des théorèmes similaires lorsque x \rightarrow -\infty .

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Dans ce chapitre...

Exercices

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Méthodes

  • Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé
  • Lever une forme indéterminée
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Quiz

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