Initialisation

On commence l'initialisation à $n=1$ car l'énoncé précise que $n$ est un entier naturel non nul.

La somme $\sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right)$ ne contient alors qu'un terme qui est $1\times \left(1+1\right)=2$

Or $2$ est bien égal à $\frac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)}{3}$

La proposition est donc vraie pour $n=1$

Hérédité

On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier $n$. C'est à dire que pour cet entier $n$ on a :

$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ (Hypothèse de récurrence)

et on va montrer qu'alors :

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) = \frac{\left(n\color{red}{+1}\right)\left(n\color{red}{+2}\right)\left(n\color{red}{+3}\right)}{3}$(on a remplacé $n$ par $n+1$ dans la formule que l'on souhaite prouver).

On va calculer $\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)$ en isolant le dernier terme de notre somme :

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) = 1\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + . . . + n\left(n+1\right) \color{red}{+ \left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

or si on regroupe tous les termes sauf le dernier (qui est en rouge) :

$1\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + . . . + n\left(n+1\right) = \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)= \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ par hypothèse de récurrence.

Par conséquent :

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\color{red}{+\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\frac{3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}$ ( en mettant $\left(n+1\right)\left(n+2\right)$ en facteur )

ce qui correspond bien à la formule que nous souhaitions montrer.

En conclusion, nous avons bien démontré que pour pour tout entier $n$ strictement positif :

$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$

La démonstration est analogue.

Initialisation

On commence là encore l'initialisation à $n=1$.

La somme $\sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)$ ne contient alors qu'un seul terme qui est $1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)=1\times 2\times 3=6$

Or $6$ est égal à $\frac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)\times \left(1+3\right)}{4}$

La proposition est donc vraie pour $n=1$

Hérédité

On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier $n$ :

$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$ (Hypothèse de récurrence)

et on va montrer qu'alors :

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \frac{\left(n\color{red}{+1}\right)\left(n\color{red}{+2}\right)\left(n\color{red}{+3}\right)\left(n\color{red}{+4}\right)}{4}$(on a remplacé $n$ par $n+1$ dans la formule que l'on souhaite démontrer).

On calcule $\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)$ en isolant le dernier terme :

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)$

$= 1\times 2\times 3 + 2\times 3\times 4 + 3\times 4\times 5 + . . . + n\left(n+1\right)\left(n+2\right) \color{red}{+ \left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$

On regroupe tous les termes sauf le dernier :

$1\times 2\times 3 + 2\times 3\times 4 + 3\times 4\times 5 + . . . + n\left(n+1\right)\left(n+2\right)$

$= \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$ par hypothèse de récurrence.

Donc:

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\color{red}{+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}+\frac{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$

$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{4}$ ( en mettant $\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)$ en facteur )

C'est bien ce que nous souhaitions trouver !

En conclusion, pour pour tout entier $n$ strictement positif :

$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$