Théorème de Pythagore – Trigonométrie
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1. Théorème de Pythagore (rappels de 4ème)
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.
Remarque
- On rappelle que l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et le côté ayant la plus grande longueur.
- Ce théorème sert à calculer la longueur d'un côté connaissant les longueurs des deux autres lorsque l'on sait que le triangle est rectangle.
Exemple
Soit $ ABC $ un triangle rectangle en $ A $ tel que $ AB=4 $cm et $ AC=3 $cm.
D'après le théorème de Pythagore :
$ BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25 $
Donc $ BC=\sqrt{25}=5 $cm.
2. Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque du théorème de Pythagore
Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Remarque
Ce théorème sert à démontrer qu'un triangle est un triangle rectangle lorsqu'on connait les longueurs de ses trois côtés.
Exemple
Soit $ ABC $ un triangle tel que $ AB=12 $cm, $ AC=5 $cm et $ BC=13 $cm.
$ ABC $ est-il rectangle ?
On calcule séparément $ BC^{2} $ (carré de la longueur du plus grand côté) et $ AB^{2}+AC^{2} $ (somme des carrés des longueurs des deux autres côtés) :
$ BC^{2}=13^{2}=169 $
$ AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169 $
$ BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} $ donc le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $ d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
Contraposée du théorème de Pythagore
Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.
Remarque
La contraposée sert à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. Si $ BC^{2} \neq AB^{2} + AC^{2} $, alors le triangle $ ABC $ n'est pas rectangle.
3. Trigonométrie
3.1 Vocabulaire
Côté adjacent, côté opposé, hypoténuse
On considère un triangle $ ABC $ rectangle en $ B $. L'angle $ \widehat{BAC} $ est un angle aigu de ce triangle.
- Le côté $ [AC] $ est le côté le plus long : c'est l'hypoténuse du triangle $ ABC $.
- Le côté $ [AB] $ est appelé côté adjacent à l'angle $ \widehat{BAC} $.
- Le côté $ [BC] $ est appelé côté opposé à l'angle $ \widehat{BAC} $.
Remarque
Pour l'autre angle aigu $ \widehat{BCA} $, les rôles des côtés adjacent et opposé sont inversés : le côté $ [BC] $ devient le côté adjacent et le côté $ [AB] $ devient le côté opposé. L'hypoténuse reste toujours $ [AC] $.
3.2 Cosinus, sinus et tangente
Définition
Soit $ ABC $ un triangle rectangle en $ B $ :
le cosinus de $ \widehat{BAC} $ est le nombre :
$ \cos\left(\widehat{BAC}\right)= \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{AC} $
le sinus de $ \widehat{BAC} $ est le nombre :
$ \sin\left(\widehat{BAC}\right)= \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{BC}{AC} $
la tangente de $ \widehat{BAC} $ est le nombre :
$ \tan\left(\widehat{BAC}\right)= \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{BC}{AB} $
Remarque
Le moyen mnémotechnique SOHCAHTOA permet de retrouver ces formules :
- SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
- CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
- TOA : Tangente = Opposé / Adjacent
Exemple
Dans le triangle rectangle $ ABC $ rectangle en $ A $ tel que $ AB=4 $, $ AC=3 $ et $ BC=5 $ :
- $ \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}=0{,}6 $
- $ \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}=0{,}8 $
- $ \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}=0{,}75 $
3.3 Propriétés
Propriété
- Les sinus, cosinus et tangente d'un angle n'ont pas d'unité.
- Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des nombres strictement compris entre 0 et 1.
- La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif (elle peut être supérieure à 1).
Remarque
Connaissant le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle, on peut calculer la mesure de l'angle en degrés à la calculatrice à l'aide des touches $ \sin^{-1} $ (ou Arcsin), $ \cos^{-1} $ (ou Arccos) et $ \tan^{-1} $ (ou Arctan). Il faut bien vérifier que la calculatrice est en mode degré.
Exemple
On sait que $ \sin\left(\widehat{ABC}\right) = 0{,}6 $. Calculer la mesure de l'angle $ \widehat{ABC} $ arrondie au degré.
A la calculatrice, on tape $ \sin^{-1}(0{,}6) $ et on obtient :
$ \widehat{ABC} \approx 37^{\circ} $
4. Relations trigonométriques
Propriété
Pour tout angle aigu $ \widehat{a} $ d'un triangle rectangle :
Remarque
On écrit $ \cos^{2} \widehat{a} $ pour $ \left(\cos \widehat{a}\right)^{2} $.
Démonstrations
$ \cos \widehat{a}=\dfrac{AB}{AC} $ donc $ \left(\cos \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} $
$ \sin \widehat{a}=\dfrac{BC}{AC} $ donc $ \left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{BC^{2}}{AC^{2}} $
Par conséquent :
$ \left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}+\dfrac{BC^{2}}{AC^{2}}=\dfrac{AB^{2}+BC^{2}}{AC^{2}} $
Or d'après le théorème de Pythagore $ AB^{2}+BC^{2}=AC^{2} $ donc :
$ \left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\dfrac{AC^{2}}{AC^{2}}=1 $ après simplification par $ AC^{2} $
$ \dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\dfrac{\dfrac{BC}{AC}}{\dfrac{AB}{AC}}=\dfrac{BC}{AC}\times \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AB} $ après simplification par $ AC $.
Or, $ \dfrac{BC}{AB}=\tan \widehat{a} $, par conséquent :
$ \tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}} $
Exemple
On sait que le cosinus d'un angle $ \widehat{a} $ vaut $ 0{,}5 $. Calculer une valeur approchée à $ 10^{-2} $ du sinus puis de la tangente de cet angle.
$ \cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1 $
$ \sin^{2} \widehat{a}=1 - \cos^{2}\widehat{a}=1 - 0{,}5^{2}=0{,}75 $
$ \sin \widehat{a}=\sqrt{0{,}75}\approx 0{,}87 $ à $ 10^{-2} $ près.
$ \tan \widehat{a}=\dfrac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\dfrac{\sqrt{0{,}75}}{0{,}5}\approx 1{,}73 $ à $ 10^{-2} $ près.
Les questions essentielles
1. À quoi sert le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît les longueurs des deux autres côtés.
Voir la fiche méthode : Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
2. À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?
La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle lorsqu'on connaît les longueurs de ses trois côtés : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.
Voir la fiche méthode : Démontrer qu'un triangle est rectangle
3. Comment choisir entre sinus, cosinus et tangente ?
Il faut identifier les côtés connus et le côté cherché par rapport à l'angle : SOHCAHTOA. Si on connaît l'hypoténuse et le côté opposé, on utilise le sinus. Si on connaît l'hypoténuse et le côté adjacent, on utilise le cosinus. Si on connaît les deux côtés de l'angle droit, on utilise la tangente.
Voir la fiche méthode : Choisir le bon rapport trigonométrique
4. Comment calculer un angle à partir d'un rapport trigonométrique ?
On utilise les fonctions inverses de la calculatrice : $ \sin^{-1} $ (Arcsin), $ \cos^{-1} $ (Arccos) ou $ \tan^{-1} $ (Arctan). Il faut s'assurer que la calculatrice est en mode degré.
Voir la fiche méthode : Calculer un angle avec la trigonométrie
5. Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et la trigonométrie ?
Le théorème de Pythagore utilise uniquement les longueurs des côtés. La trigonométrie fait intervenir les angles : elle permet de calculer une longueur à partir d'un angle et d'une longueur, ou un angle à partir de deux longueurs.
Voir les fiches méthodes : Calculer une longueur avec Pythagore et Calculer une longueur avec la trigonométrie