Sujet 0 - Logarithme et exponentielle
Exercice 7
On considère les fonctions définies sur par , où est un réel strictement positif.
On s’intéresse dans cette question au cas , donc à la fonction définie sur par .
Montrer que la dérivée de , notée , vérifie .
Montrer que la fonction admet un minimum en .
Soit un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction .
Montrer que pour tout réel positif ,
On note la courbe représentative de la fonction dans un plan muni d’un repère orthonormé. On note le point de la courbe d’abscisse . On a représenté ci-dessous quelques courbes pour différentes valeurs de .
Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
« Pour tout réel strictement positif, les points , et sont alignés. »
Corrigé
Calculons la dérivée de :
La dérivée de est 1, et la dérivée de est :
Donc, la dérivée de est :
Pour déterminer les points où la dérivée s'annule, nous résolvons l'équation :
Par ailleurs :
- Pour , donc .
- Pour , donc .La dérivée change de signe de négatif à positif pour , donc admet un minimum en .
Calculons :
Remplaçons par :
Nous savons que , donc :
Considérons les points , et :
a pour coordonnées .
a pour coordonnées .
a pour coordonnées .
On remarque facilement que les coordonnées de ces trois points vérifient l'équation de la droite ; ils sont donc alignés sur la droite d'équation .
L'affirmation est donc vraie.