Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Sujet 0 - Logarithme et exponentielle

Exercice 7

On considère les fonctions fkf_k définies sur R\mathbb{R} par fk(x)=x+ke−xf_k(x) = x + ke^{ - x}, où kk est un réel strictement positif.

  1. On s’intéresse dans cette question au cas k=0,5k = 0,5, donc à la fonction f0,5f_{0,5} définie sur R\mathbb{R} par f0,5(x)=x+0,5e−xf_{0,5}(x) = x + 0,5e^{ - x}.

    1. Montrer que la dérivée de f0,5f_{0,5}, notée f0,5′f^{\prime}_{0,5}, vérifie f0,5′(x)=1−0,5e−xf^{\prime}_{0,5}(x) = 1 - 0,5e^{ - x}.

    2. Montrer que la fonction f0,5f_{0,5} admet un minimum en ln(0,5)\ln(0,5).

    Soit kk un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction fkf_k.

    Bac spé sujet 0 tableau de variations

  2. Montrer que pour tout réel positif kk, fk(ln(k))=ln(k)+1f_k(\ln(k)) = \ln(k) + 1

    On note CkC_k la courbe représentative de la fonction fkf_k dans un plan muni d’un repère orthonormé. On note AkA_k le point de la courbe CkC_k d’abscisse ln(k)\ln(k). On a représenté ci-dessous quelques courbes CkC_k pour différentes valeurs de kk.

    Bac 2024 sujet 0 logarithme exponentielle

  3. Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

    « Pour tout réel kk strictement positif, les points A0,5A_{0,5}, A1A_1 et AkA_k sont alignés. »

Corrigé

    1. Calculons la dérivée de f0,5f_{0,5} :

      La dérivée de xx est 1, et la dérivée de 0,5e−x0,5e^{ - x} est :

      (0,5e−x)′=0,5×(−e−x)=−0,5e−x (0,5e^{ - x})^{\prime} = 0,5 \times ( - e^{ - x}) = - 0,5e^{ - x}

      Donc, la dérivée de f0,5(x)f_{0,5}(x) est :

      f0,5′(x)=1−0,5e−x f^{\prime}_{0,5}(x) = 1 - 0,5e^{ - x}

    2. Pour déterminer les points où la dérivée s'annule, nous résolvons l'équation f0,5′(x)=0f^{\prime}_{0,5}(x) = 0 :

      1−0,5e−x=0 1 - 0,5e^{ - x} = 0

      0,5e−x=1 0,5e^{ - x} = 1

      e−x=2 e^{ - x} = 2

      −x=ln(2) - x = \ln(2)

      x=−ln(2)=ln(0,5) x = - \ln(2) = \ln(0,5)

      Par ailleurs :

      - Pour x<ln(0,5)x < \ln(0,5), e−x>2e^{ - x} > 2 donc 1−0,5e−x<01 - 0,5e^{ - x} < 0.
      - Pour x>ln(0,5)x > \ln(0,5), e−x<2e^{ - x} < 2 donc 1−0,5e−x>01 - 0,5e^{ - x} > 0.

      La dérivée f0,5′(x)f^{\prime}_{0,5}(x) change de signe de négatif à positif pour x=ln(0,5)x = \ln(0,5), donc f0,5f_{0,5} admet un minimum en x=ln(0,5)x = \ln(0,5).

  2. Calculons fk(ln(k))f_k(\ln(k)) :

    fk(x)=x+ke−x f_k(x) = x + ke^{ - x}

    Remplaçons xx par ln(k)\ln(k) :

    fk(ln(k))=ln(k)+ke−ln(k) f_k(\ln(k)) = \ln(k) + k e^{ - \ln(k)}

    Nous savons que e−ln(k)=1eln(k)=1ke^{ - \ln(k)} = \frac{1}{e^{\ln(k)}} = \frac{1}{k}, donc :

    fk(ln(k))=ln(k)+k×1k=ln(k)+1 f_k(\ln(k)) = \ln(k) + k \times \frac{1}{k} = \ln(k) + 1

  3. Considérons les points A0,5A_{0,5}, A1A_1 et AkA_k :

    • A0,5A_{0,5} a pour coordonnées (ln(0,5);ln(0,5)+1)\left(\ln(0,5); \ln(0,5) + 1 \right).

    • A1A_1 a pour coordonnées (ln(1);ln(1)+1)=(0,1)\left(\ln(1); \ln(1) + 1 \right) = \left(0, 1 \right).

    • AkA_k a pour coordonnées (ln(k);ln(k)+1)\left(\ln(k); \ln(k) + 1 \right).

    On remarque facilement que les coordonnées de ces trois points vérifient l'équation de la droite y=x+1y = x + 1 ; ils sont donc alignés sur la droite d'équation y=x+1y = x + 1.

    L'affirmation est donc vraie.

Autres exercices de ce sujet :

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices

Quiz