Suites - Bac S Centres étrangers 2013
Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite définie par son premier terme et la relation de récurrence : .
Partie A - Algorithmique et conjectures
Pour calculer et afficher le terme de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.
Il a oublié de compléter deux lignes.
Variables | est un entier naturel |
est un réel | |
Initialisation | Affecter à la valeur 1 |
Affecter à la valeur 1,5 | |
Traitement | Tant que |
Affecter à la valeur ... | |
Affecter à la valeur ... | |
Fin Tant que | |
Sortie | Afficher la variable |
Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de jusqu'à ?
Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite .1 2 3 4 5 6 ... 99 100 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 ... 0,0102 0,0101
Partie B - Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire par : pour tout entier , .
Montrer que la suite est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
En déduire que, pour tout entier naturel , on a : .
Déterminer la limite de la suite .
Justifier que, pour tout entier , on a : .
En déduire le sens de variation de la suite .
Partie C - Retour à l'algorithmique
En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier tel que .