Suites - Bac S Amérique du Nord 2013

Exercice 2 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=1$ et, pour tout entier naturel $n$ ,

$u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}}.$

On considère l'algorithme suivant :

Variables :	$n$ est un entier naturel
	$u$ est un réel positif
Initialisation :	Demander la valeur de $n$
	Affecter à $u$ la valeur 1
Traitement :	Pour $i$ variant de 1 à $n$ :
	$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$
	Fin de Pour
Sortie :	Afficher $u$

Donner une valeur approchée à $10^{ - 4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n=3$ .
Que permet de calculer cet algorithme?
Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$ .
$n$ 1 5 10 15 20

Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n, 0 < u_{n}\leqslant 2$ .
2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
3. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_{n}=\ln u_{n} - \ln 2$ .
1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme
  
  $v_{0} = - \ln 2$ .
2. Déterminer, pour tout entier naturel $n$ , l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis de $u_{n}$ en fonction de $n$ .
3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$ .
  Variables : $n$ est un entier naturel
  
  $u$ est un réel
  
  Initialisation : Affecter à $n$ la valeur $0$
  
  Affecter à $u$ la valeur 1
  
  Traitement : ...
  
  Sortie : ...

$n$	1	5	10	15	20
Valeur affichée	1,4142	1,9571	1,9986	1,9999	1,9999