Vrai/Faux : Convergence d’une suite
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Pour chacune des questions, indiquer si l'affirmation est exacte en justifiant la réponse.
- Si l'affirmation est exacte, la démontrer.
- Si l'affirmation est fausse, donner un contre-exemple.
- Si $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ sont des suites dont tous les termes sont positifs et si la suite $ \left(u_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $, alors la suite de terme général $ u_{n}+v_{n} $ diverge vers $ +\infty $.
- Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ diverge vers $ +\infty $, alors elle est croissante à partir d'un certain rang.
Soient trois suites numériques $ \left(u_{n}\right) $, $ \left(v_{n}\right) $ et $ \left(w_{n}\right) $.
Si les suites $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ convergent respectivement vers $ l $ et $ l^{\prime} $ et si, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n} $, alors la suite $ \left(w_{n}\right) $ converge et sa limite est comprise entre $ l $ et $ l^{\prime} $.
- Si la suite $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas majorée, elle diverge nécessairement vers $ +\infty $.
Corrigé
Vrai.
Comme pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n} \geqslant 0 $, on a $ u_{n}+v_{n} \geqslant u_{n} $.
Or $ \lim\limits_{n\to +\infty }u_{n}=+\infty $. Par comparaison, on en déduit que $ \lim\limits_{n\to +\infty }(u_{n}+v_{n})=+\infty $.
Faux.
Considérons la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{n}=n+\left(-1\right)^{n} $.
Comme $ \left(-1\right)^{n} \geqslant -1 $ (car $ \left(-1\right)^{n} $ vaut $ -1 $ ou $ 1 $) :
$ u_{n} = n+\left(-1\right)^{n} \geqslant n - 1 $
Comme $ \lim\limits_{n\to +\infty }(n-1)=+\infty $, par comparaison $ \lim\limits_{n\to +\infty }u_{n}=+\infty $.
Mais la suite $ \left(u_{n}\right) $ n'est pas croissante (même à partir d'un certain rang). En effet, si $ n $ est pair :
$ u_{n}=n+\left(-1\right)^{n}=n+1 $
$ u_{n+1}=(n+1)+\left(-1\right)^{n+1}=n+1 - 1=n $Par conséquent :
$ u_{n+1} - u_{n} = n - (n+1) = -1 < 0 $
La représentation graphique de la suite ci-dessous aide à comprendre le raisonnement.
Suite divergente vers $ +\infty $ mais non croissante.
Faux.
Il suffit de prendre pour $ u $ et $ v $ les suites constantes :
$ u_{n}=-1 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $
$ v_{n}=1 $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $et pour $ w $ :
$ w_{n}=\left(-1\right)^{n} $ pour tout $ n \in \mathbb{N} $
Les suites $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ convergent respectivement vers $ -1 $ et $ 1 $, mais $ \left(w_{n}\right) $ ne converge pas.
Remarque
En revanche, si $ \left(w_{n}\right) $ convergeait, on pourrait effectivement dire que sa limite est comprise entre les limites de $ \left(u_{n}\right) $ et de $ \left(v_{n}\right) $.
On ne peut pas appliquer le théorème des gendarmes ici, car ce théorème suppose que $ \left(u_{n}\right) $ et $ \left(v_{n}\right) $ aient la même limite.
Faux.
La suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{n}=\left(-1\right)^{n}\times n $ n'est pas majorée, car pour $ n $ pair $ u_{n}=n $ et $ n $ peut être aussi grand que l'on veut.
En revanche, elle ne diverge pas vers $ +\infty $, car pour $ n $ impair $ u_{n}=-n $ est négatif (et tend vers $ -\infty $).
Suite non majorée mais ne tendant pas vers $ +\infty $.