Vrai/Faux : Convergence d'une suite

Pour chacune des questions indiquer si l'affirmation est exacte en justifiant la réponse.

Si l'affirmation est exacte, vous devez la démontrer
Si l'affirmation est fausse, vous devez donner un contre-exemple

Si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont des suites dont tous les termes sont positifs et si la suite $\left(u_{n}\right)$ diverge vers $+\infty$ , alors la suite de terme général $u_{n}+v_{n}$ diverge vers $+\infty$ .
Si la suite $\left(u_{n}\right)$ diverge vers $+\infty$ , alors elle est croissante à partir d'un certain rang.
Soient trois suites numériques $\left(u_{n}\right), \left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ .

Si les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent respectivement vers $l$ et $l^{\prime}$ et si pour tout $n \in \mathbb{N}$ $u_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n}$ alors la suite $w_{n}$ converge et sa limite est comprise entre $l$ et $l^{\prime}$ .
Si la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas majorée, elle diverge nécessairement vers $+\infty$ .

Corrigé

Vrai

Du fait que pour tout entier naturel $n$ $v_{n} \geqslant 0$ on en déduit que $u_{n}+v_{n} \geqslant u_{n}$ .

Comme $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ on en déduit $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}+v_{n}=+\infty$ (voir Théorème).
Faux

Considérons par exemple la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=n+\left( - 1\right)^{n}$

On a $\left( - 1\right)^{n} \geqslant - 1$ (car $\left( - 1\right)^{n}$ vaut $- 1$ ou $1$ )

$n+\left( - 1\right)^{n} \geqslant n - 1$

$u_{n} \geqslant n - 1$

Comme $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n - 1=+\infty$ , $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$

Mais la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas croissante (même à partir d'un certain rang) car si $n$ est pair :

$u_{n}=n+\left( - 1\right)^{n}=n+1$

$u_{n+1}=n+1+\left( - 1\right)^{n+1}=n+1 - 1=n$ (en effet $n+1$ est impair donc $\left( - 1\right)^{n+1}= - 1$ )

Par conséquent :

$u_{n+1} - u_{n} =n - \left(n+1\right)= - 1 < 0$

La représentation graphique de la suite ci-dessous devrait aider à comprendre le raisonnement :

Suite divergente vers $+\infty$ mais non croissante
Faux

Il suffit de prendre pour $u$ et $v$ les suites constantes :

$u_{n}= - 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

$v_{n}=+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

et pour $w$ :

$w_{n}=\left( - 1\right)^{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

$\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ convergent respectivement vers $- 1$ et $1$ mais $\left(w_{n}\right)$ ne converge pas.

Remarques :

♦ Par contre si $w$ convergeait, on pourrait effectivement dire que sa limite est comprise entre les limites de $u$ et de $v$ .

♦ On ne peut pas appliquer le théorème des gendarmes ici car le théorème des gendarmes suppose que $u$ et $v$ aient la même limite.
Faux

La suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=\left( - 1\right)^{n}\times n$ n'est pas majorée car pour $n$ pair $u_{n}=n$ .

Par contre, elle ne diverge pas vers $+\infty$ car pour $n$ impair $u_{n}= - n$ est négatif.

Suite non majorée et non minorée

Suite non majorée mais ne tendant pas vers $+\infty$

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