1. Nombre dérivé
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient 2 réels x_{0} et h\neq 0 tels que x_{0} \in I et x_{0}+h \in I.
Le taux de variation (ou taux d’accroissement) de la fonction f entre x_{0} et x_{0}+h est le nombre :
T=\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}
Définition
Une fonction f est dérivable en x_{0} si et seulement si le nombre \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} a pour limite un certain réel l lorsque h tend vers 0.
l est appelée nombre dérivé de f en x_{0}, on le note f^{\prime}\left(x_{0}\right).
On écrit : f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}.
Remarques
Le quotient \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} est le taux d’accroissement de f entre x_{0} et x_{0}+h.
« le nombre \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} a pour limite un certain réel l lorsque h tend vers 0 » signifie que \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} se rapproche de l lorsque h se rapproche de 0.
Une définition plus rigoureuse de la notion de limite sera vue en Terminale.
On peut également définir le nombre dérivé de la façon suivante:
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
(cela correspond au changement de variable x=x_{0}+h)
Exemple
Calculons le nombre dérivé de la fonction f : x \mapsto x^{2} pour x=1.
Ce nombre se note f^{\prime}\left(1\right) et vaut :
f^{\prime}\left(1\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\left(1+h\right)^{2}-1^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2h+h^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}2+h
Or quand h tend vers 0, 2+h tend vers 2; donc f^{\prime}\left(1\right)=2.
Remarque:
Interprétation graphique du nombre dérivé :
Soit \mathscr{C}_f la courbe représentative de la fonction f.
Lorsque h tend vers 0, B « se rapproche » de A et la droite \left(AB\right) se rapproche de la tangente \mathscr{T}.
Le nombre dérivée f^{\prime}\left(x_{0}\right) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f au point d’abscisse x_{0}.
Propriété
Soit f une fonction dérivable en x_{0} de courbe représentative \mathscr{C}_f, l’équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d’abscisse x_{0} est :
y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)
Démonstration
D’après la propriété précédente, la tangente à \mathscr{C}_f au point d’abscisse x_{0} est une droite de coefficient directeur f^{\prime}\left(x_{0}\right). Son équation est donc de la forme :
y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x+b
On sait que la tangente passe par le point A de coordonnées \left(x_{0}; f\left(x_{0}\right)\right) donc :
f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+b
b=-f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right)
L’équation de la tangente est donc :
y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x-f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right)
Soit :
y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)
2. Fonction dérivée
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si et seulement si pour tout x \in I, le nombre dérivé f^{\prime}\left(x\right) existe.
La fonction qui à x \in I associe le nombre dérivé de f en x s’appelle la fonction dérivée et se note f^{\prime}
Propriétés
Dérivée des fonctions usuelles :
| Fonction | Dérivée | Ensemble de dérivabilité |
| k \left(k\in \mathbb{R}\right) | 0 | \mathbb{R} |
| x | 1 | \mathbb{R} |
| x^{n} \left(n\in \mathbb{N}\right) | nx^{n-1} | \mathbb{R} |
| \frac{1}{x^{n}} \left(n\in \mathbb{N}\right) | -\frac{n}{x^{n+1}} | \mathbb{R}-\left\{0\right\} |
| \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} | \left]0;+\infty \right[ |
Propriétés
Formules de base :
Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur un intervalle I. Sur cet intervalle :
| Fonction | Dérivée |
| u+v | u^{\prime}+v^{\prime} |
| ku \left(k\in \mathbb{R}\right) | ku^{\prime} |
| \frac{1}{u} (avec u\left(x\right)\neq 0 sur I) | -\frac{u^{\prime} }{u^{2}} |
| uv | u^{\prime}v+uv^{\prime} |
| \frac{u}{v} (avec v\left(x\right)\neq 0 sur I) | \frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}} |
| \sqrt{u} (avec u\geqslant 0 sur I) | \frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}} lorsque u > 0 |
Exemple
On cherche à calculer la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\frac{x}{x^{2}+1}
On pose
u\left(x\right)=x et v\left(x\right)=x^{2}+1
On a alors
u^{\prime}\left(x\right)=1
v^{\prime}\left(x\right)=2x
car la dérivée de la fonction x \mapsto x^{2} est la fonction x \mapsto 2x (formule nx^{n-1} avec n=2) et la dérivée de la fonction constante x \mapsto 1 est la fonction nulle.
La dérivée du quotient est donc :
f^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\frac{1\times \left(x^{2}+1\right)-x\times 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
Remarques
Si le dénominateur d’une fraction est constant, il est très maladroit d’utiliser la formule
\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}.
Par exemple pour dériver f\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{5} on écrira :
f\left(x\right)=\frac{1}{5}\times \left(x^{2}+1\right)
donc f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{5}\times \left(2x\right) (formule \left(ku\right)^{\prime}=ku^{\prime})
f^{\prime}\left(x\right)=\frac{2x}{5}
De même, si le numérateur d’une fraction est constant on utilisera, de préférence, la formule :
\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}
Par exemple, si f\left(x\right)=\frac{5}{x^{2}+1}
f\left(x\right)=5\times \frac{1}{x^{2}+1} donc :
f^{\prime}\left(x\right)=5\times \left(-\frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)=-\frac{10x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} (formule \left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}} avec u\left(x\right)=x^{2}+1 donc u^{\prime}\left(x\right)=2x)
3. Fonction dérivée et sens de variations
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est croissante sur I si et seulement si f^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0 pour tout x \in I
f est décroissante sur I si et seulement si f^{\prime}\left(x\right)\leqslant 0 pour tout x \in I
Remarque
Si f^{\prime}\left(x\right) > 0 (resp. f^{\prime}\left(x\right) < 0) sur I, alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I.
Mais la réciproque est fausse. Une fonction peut être strictement croissante sur I alors que sa dérivée s’annule sur I. C’est le cas par exemple de la fonction x \mapsto x^{3} qui est strictement croissante sur \mathbb{R} alors que sa dérivée x \mapsto 3x^{2} s’annule pour x=0
Exemple
Reprenons la fonction de l’exemple précédent.
f\left(x\right)=\frac{x}{x^{2}+1}
f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
Le dénominateur de f^{\prime}\left(x\right) est toujours strictement positif.
Le numérateur de f^{\prime}\left(x\right) peut se factoriser : 1-x^{2}=\left(1-x\right)\left(1+x\right)
Une facile étude de signe montre que f^{\prime} est strictement négative sur \left]-\infty ; -1\right[ et \left]1 ; +\infty \right[ et est strictement positive sur \left]-1 ; 1\right[.
Par ailleurs, f\left(-1\right)=-\frac{1}{2} et f\left(1\right)=\frac{1}{2}
On en déduit le tableau de variations de f (que l’on regroupe habituellement avec le tableau de signe de f^{\prime}) :
