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Nombre dérivé - Fonction dérivée

1. Nombre dérivé

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soient 2 réels x_{0} et h\neq 0 tels que x_{0} \in I et x_{0}+h \in I.

Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de la fonction f entre x_{0} et x_{0}+h est le nombre :

T=\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}

Définition

Une fonction f est dérivable en x_{0} si et seulement si le nombre \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} a pour limite un certain réel l lorsque h tend vers 0.

l est appelée nombre dérivé de f en x_{0}, on le note f^{\prime}\left(x_{0}\right).

On écrit : f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}.

Remarques

  • Le quotient \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} est le taux d'accroissement de f entre x_{0} et x_{0}+h.

  • « le nombre \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} a pour limite un certain réel l lorsque h tend vers 0 » signifie que \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} se rapproche de l lorsque h se rapproche de 0.

    Une définition plus rigoureuse de la notion de limite sera vue en Terminale.

  • On peut également définir le nombre dérivé de la façon suivante:

    f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}

    (cela correspond au changement de variable x=x_{0}+h)

Exemple

Calculons le nombre dérivé de la fonction f : x \mapsto x^{2} pour x=1.

Ce nombre se note f^{\prime}\left(1\right) et vaut :

f^{\prime}\left(1\right)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\left(1+h\right)^{2}-1^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2h+h^{2}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}2+h

Or quand h tend vers 0, 2+h tend vers 2; donc f^{\prime}\left(1\right)=2.

Remarque:

Interprétation graphique du nombre dérivé :

nombre dérivé

Soit \mathscr{C}_f la courbe représentative de la fonction f.

Lorsque h tend vers 0, B "se rapproche" de A et la droite \left(AB\right) se rapproche de la tangente \mathscr{T}.

Le nombre dérivée f^{\prime}\left(x_{0}\right) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f au point d'abscisse x_{0}.

Propriété

Soit f une fonction dérivable en x_{0} de courbe représentative \mathscr{C}_f, l'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse x_{0} est :

y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)

Démonstration

D'après la propriété précédente, la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse x_{0} est une droite de coefficient directeur f^{\prime}\left(x_{0}\right). Son équation est donc de la forme :

y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x+b

On sait que la tangente passe par le point A de coordonnées \left(x_{0}; f\left(x_{0}\right)\right) donc :

f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+b

b=-f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right)

L'équation de la tangente est donc :

y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x-f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right)

Soit :

y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)

2. Fonction dérivée

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si et seulement si pour tout x \in I, le nombre dérivé f^{\prime}\left(x\right) existe.

La fonction qui à x \in I associe le nombre dérivé de f en x s'appelle la fonction dérivée et se note f^{\prime}

Propriétés

Dérivée des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée Ensemble de dérivabilité
k \left(k\in \mathbb{R}\right) 0 \mathbb{R}
x 1 \mathbb{R}
x^{n} \left(n\in \mathbb{N}\right) nx^{n-1} \mathbb{R}
\frac{1}{x^{n}} \left(n\in \mathbb{N}\right) -\frac{n}{x^{n+1}} \mathbb{R}-\left\{0\right\}
\sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} \left]0;+\infty \right[

Propriétés

Formules de base :

Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur un intervalle I. Sur cet intervalle :

Fonction Dérivée
u+v u^{\prime}+v^{\prime}
ku \left(k\in \mathbb{R}\right) ku^{\prime}
\frac{1}{u} (avec u\left(x\right)\neq 0 sur I) -\frac{u^{\prime} }{u^{2}}
uv u^{\prime}v+uv^{\prime}
\frac{u}{v} (avec v\left(x\right)\neq 0 sur I) \frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}
\sqrt{u} (avec u\geqslant 0 sur I) \frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}} lorsque u > 0

Exemple

On cherche à calculer la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=\frac{x}{x^{2}+1}

On pose

u\left(x\right)=x et v\left(x\right)=x^{2}+1

On a alors

u^{\prime}\left(x\right)=1

v^{\prime}\left(x\right)=2x

car la dérivée de la fonction x \mapsto x^{2} est la fonction x \mapsto 2x (formule nx^{n-1} avec n=2) et la dérivée de la fonction constante x \mapsto 1 est la fonction nulle.

La dérivée du quotient est donc :

f^{\prime}\left(x\right)=\frac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\frac{1\times \left(x^{2}+1\right)-x\times 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Remarques

  • Si le dénominateur d'une fraction est constant, il est très maladroit d'utiliser la formule

    \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}.

    Par exemple pour dériver f\left(x\right)=\frac{x^{2}+1}{5} on écrira :

    f\left(x\right)=\frac{1}{5}\times \left(x^{2}+1\right)

    donc f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{5}\times \left(2x\right) (formule \left(ku\right)^{\prime}=ku^{\prime})

    f^{\prime}\left(x\right)=\frac{2x}{5}

  • De même, si le numérateur d'une fraction est constant on utilisera, de préférence, la formule :

    \left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}

    Par exemple, si f\left(x\right)=\frac{5}{x^{2}+1}

    f\left(x\right)=5\times \frac{1}{x^{2}+1} donc :

    f^{\prime}\left(x\right)=5\times \left(-\frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)=-\frac{10x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} (formule \left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}} avec u\left(x\right)=x^{2}+1 donc u^{\prime}\left(x\right)=2x)

3. Fonction dérivée et sens de variations

Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

  • f est croissante sur I si et seulement si f^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0 pour tout x \in I

  • f est décroissante sur I si et seulement si f^{\prime}\left(x\right)\leqslant 0 pour tout x \in I

Remarque

Si f^{\prime}\left(x\right) > 0 (resp. f^{\prime}\left(x\right) < 0) sur I, alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I.

Mais la réciproque est fausse. Une fonction peut être strictement croissante sur I alors que sa dérivée s'annule sur I. C'est le cas par exemple de la fonction x \mapsto x^{3} qui est strictement croissante sur \mathbb{R} alors que sa dérivée x \mapsto 3x^{2} s'annule pour x=0

Exemple

Reprenons la fonction de l'exemple précédent.

f\left(x\right)=\frac{x}{x^{2}+1}

f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Le dénominateur de f^{\prime}\left(x\right) est toujours strictement positif.

Le numérateur de f^{\prime}\left(x\right) peut se factoriser : 1-x^{2}=\left(1-x\right)\left(1+x\right)

Une facile étude de signe montre que f^{\prime} est strictement négative sur \left]-\infty ; -1\right[ et \left]1 ; +\infty \right[ et est strictement positive sur \left]-1 ; 1\right[.

Par ailleurs, f\left(-1\right)=-\frac{1}{2} et f\left(1\right)=\frac{1}{2}

On en déduit le tableau de variations de f (que l'on regroupe habituellement avec le tableau de signe de f^{\prime}) :

Dérivée et tableau de variations

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