Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Suites - Bac S Polynésie 2014

Exercice 2 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par
$u_{0}=0$
et, pour tout entier naturel $n$ ,
$u_{n+1}=u_{n}+2n +2$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .

On considère les deux algorithmes suivants :

Variables :	$n$ est un entier naturel
	$u$ est un réel
Entrée :	Saisir la valeur de $n$
Traitement :	$u$ prend la valeur 0
	Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :
	$\quad$ $\quad$ $\quad$ $u$ prend la valeur $u+2i+2$
	Fin Pour
Sortie :	Afficher $u$

Algorithme 1

Variables :	$n$ est un entier naturel
	$u$ est un réel
Entrée :	Saisir la valeur de $n$
Traitement :	$u$ prend la valeur $0$
	Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :
	$\quad$ $\quad$ $\quad$ $u$ prend la valeur $u+2i+2$
	Fin Pour
Sortie :	Afficher $u$

Algorithme 2

De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$ , la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ?

À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée.
$n$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$u_{n}$ 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156
1. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
  
  Démontrer cette conjecture.
2. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n}=an^{2}+bn+c$
  
  Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies
On définit, pour tout entier naturel $n$ , la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n}=u_{n+1} - u_{n}$ .
1. Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$ . Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
2. On définit, pour tout entier naturel $n, S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k}=v_{0}+v_{1}+. . .+v_{n}$ .
  
  Démontrer que, pour tout entier naturel $n, S_{n}=\left(n+1\right)\left(n+2\right)$ .
3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n, S_{n}=u_{n+1} - u_{0}$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

Solution rédigée par Paki

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