Suites - Récurrence - Limite

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par :

$u_n=\frac{1}{3^1}+\frac{2}{3^2}+ . . . +\frac{n}{3^n}$

Calculer $u_1,\ u_2,\ u_3$ . À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{100}$ à $10^{ - 3}$ près.
Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?

Justifier la réponse.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left(\frac{3}{2} \right)^n \geqslant n$
Déduire de la question précédente un majorant de $u_n$ .
Prouver que la suite $(u_n)$ est convergente.

Dans la suite de l'exercice, on notera $l$ la limite de la suite $(u_n)$ .

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ , $3^{n+1} > n(n+1)^2$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n=u_n+ \frac{1}{n}$ .
Montrer que la suite $(v_n)$ est décroissante.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente.
Quelle est sa limite ?
Déterminer un encadrement de $l$ d'amplitude $10^{ - 2}$ .

Corrigé

NB. La réponse fournie par Paki à la question A 5. est incorrecte.

La solution correcte serait d'utiliser le théorème de convergence monotone, la suite étant croissante majorée.