Démonstration d'une conjecture par récurrence
Soit k un réel positif ou nul.
On considère la suite (un)n∈N définie par u0=0 et pour tout entier n⩾0 : un+1=√un2+k2.
Exprimer u1, u2, u3 en fonction de k.
Conjecturer la valeur de un en fonction de k et de n.
Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.
u1=√u02+k2=√k2=k
car k est un réel positif ou nul.
u2=√u12+k2=√k2+k2=√2k2=k√2
u3=√u22+k2=√(k√2)2+k2=√2k2+k2=k√3
Au vu de ces premiers résultats, on est amené à conjecturer que, pour tout entier naturel n : un=k√n
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n : un=k√n
Initialisation :
u0=0 et k√0=0 donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité :
Supposons que la propriété un=k√n est vraie pour un certain entier naturel n. Alors :
un+1=√un2+k2 (définition de la suite)
un+1=√(k√n)2+k2 (hypothèse de récurrence)
un+1=√nk2+k2
un+1=√(n+1)k2
un+1=k√n+1
ce qui montre que la propriété est héréditaire.
Conclusion :
Pour tout entier naturel n : un=k√n