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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Démonstration d'une conjecture par récurrence

Soit kk un réel positif ou nul.

On considère la suite (un)nN(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u0=0u_0=0 et pour tout entier n0n \geqslant 0 : un+1=un2+k2u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2} .

  1. Exprimer u1u_1, u2u_2, u3u_3 en fonction de kk.

    Conjecturer la valeur de unu_n en fonction de kk et de nn.

  2. Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.

Corrigé

  1. u1=u02+k2u_{1}= \sqrt{u_0^2+k^2}=k2=k = \sqrt{k^2} = k

    car kk est un réel positif ou nul.

    u2=u12+k2=k2+k2u_{2}= \sqrt{u_1^2+k^2} = \sqrt{k^2 + k^2}=2k2=k2= \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}

    u3=u22+k2=(k2)2+k2=2k2+k2=k3u_{3}= \sqrt{u_2^2+k^2} = \sqrt{\left(k\sqrt{2}\right)^2 + k^2}= \sqrt{2k^2+k^2} = k\sqrt{3}

    Au vu de ces premiers résultats, on est amené à conjecturer que, pour tout entier naturel nn : un=knu_n=k \sqrt{n}

  2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel nn : un=knu_n=k \sqrt{n}

    Initialisation : u0=0u_0=0 et k0=0k \sqrt{0} = 0 donc la propriété est vraie au rang 00.

    Hérédité : Supposons que la propriété un=knu_n=k \sqrt{n} est vraie pour un certain entier naturel nn. Alors :

    un+1=un2+k2u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2} (définition de la suite)

    un+1=(kn)2+k2\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{\left(k \sqrt{n}\right)^2+k^2} (hypothèse de récurrence)

    un+1=nk2+k2\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{nk^2+k^2}

    un+1=(n+1)k2\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{(n+1)k^2}

    un+1=kn+1\phantom{u_{n+1}}= k\sqrt{n+1}

    ce qui montre que la propriété est héréditaire.

    Conclusion : Pour tout entier naturel nn : un=knu_n=k \sqrt{n}