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Suites - Bac S Polynésie 2013

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivis l'enseignement de spécialité On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=12u_{0}=\frac{1}{2} et telle que pour tout entier naturel nn,

un+1=3un1+2unu_{n+1}=\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}}

    1. Calculer u1u_{1} et u2u_{2}.

    2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel nn, 0<un0 < u_{n}

  2. On admet que pour tout entier naturel nn, un<1u_{n} < 1.

    1. Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.

    2. Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) converge

  3. Soit (vn)\left(v_{n}\right) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par vn=un1−unv_{n}=\frac{u_{n}}{1 - u_{n}}.

    1. Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 3.

    2. Exprimer pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

    3. En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=3n3n+1u_{n}=\frac{3^{n}}{3^{n}+1}.

    4. Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right)

Corrigé

pdf Solution rédigée par Paki

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