Suites – Bac S Polynésie 2013

On détaille les calculs étape par étape.

1. 1. Calcul des premiers termes. Avec $u_0 = \dfrac{1}{2}$ :
      $u_1 = \dfrac{3 \times \tfrac{1}{2}}{1 + 2 \times \tfrac{1}{2}} = \dfrac{\tfrac{3}{2}}{2} = \dfrac{3}{4}$
      $u_2 = \dfrac{3 \times \tfrac{3}{4}}{1 + 2 \times \tfrac{3}{4}} = \dfrac{\tfrac{9}{4}}{\tfrac{5}{2}} = \dfrac{9}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{9}{10}$

   2. Soit $P_n$ la proposition : « $u_n > 0$ ».

      • Initialisation : $u_0 = \dfrac{1}{2} > 0$, donc $P_0$ est vraie.
      • Hérédité : supposons $u_n > 0$ pour un entier $n$. Alors $3u_n > 0$ et $1 + 2u_n > 1 > 0$. Le quotient de deux réels strictement positifs est strictement positif, donc $u_{n+1} > 0$. $P_{n+1}$ est vraie.
      • Conclusion : par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$.

2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n < 1$.

   1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
      $u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n}{1 + 2u_n} - u_n = \dfrac{3u_n - u_n(1 + 2u_n)}{1 + 2u_n} = \dfrac{2u_n - 2u_n^2}{1 + 2u_n} = \dfrac{2u_n(1 - u_n)}{1 + 2u_n}$
      D'après la question 1.b, $u_n > 0$ et, par hypothèse, $1 - u_n > 0$. De plus $1 + 2u_n > 0$. Ainsi $u_{n+1} - u_n > 0$.
      La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
   2. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $\ell$ avec $\ell \leqslant 1$.

3. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.

   1. On calcule $v_{n+1}$ :
      $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{1 - u_{n+1}} = \dfrac{\tfrac{3u_n}{1 + 2u_n}}{1 - \tfrac{3u_n}{1 + 2u_n}} = \dfrac{\tfrac{3u_n}{1 + 2u_n}}{\tfrac{1 + 2u_n - 3u_n}{1 + 2u_n}} = \dfrac{3u_n}{1 - u_n} = 3v_n$
      La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 3.
   2. On a $v_0 = \dfrac{u_0}{1 - u_0} = \dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 1$.
      Pour tout entier naturel $n$ : $v_n = v_0 \times 3^n = 3^n$.
   3. À partir de $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$, on isole $u_n$ :
      $v_n(1 - u_n) = u_n$, d'où $v_n = u_n(1 + v_n)$, puis $u_n = \dfrac{v_n}{1 + v_n}$.
      En remplaçant $v_n$ par $3^n$, on obtient $u_n = \dfrac{3^n}{3^n + 1}$.
   4. On écrit $u_n = \dfrac{3^n + 1 - 1}{3^n + 1} = 1 - \dfrac{1}{3^n + 1}$.
      Comme $3 > 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} 3^n = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{3^n + 1} = 0$.
      On en déduit que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$.