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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Sujet 0 - Intégrales

Exercice 2

L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

Pour tout entier nn supérieur ou égal à 1, on désigne par fnf_n la fonction définie sur [0;1][0 ; 1] par fn(x)=xnexf_n(x) = x^n e^x.

On note CnC_n la courbe représentative de la fonction fnf_n dans un repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) du plan.

On désigne par (In)(I_n) la suite définie pour tout entier nn supérieur ou égal à 1 par :

In=∫01xnexdx I_n = \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx

    1. On désigne par F1F_1 la fonction définie sur [0;1][0;1] par

      F1(x)=(x−1)ex F_1(x) = (x - 1)e^x

      Vérifier que F1F_1 est une primitive de la fonction f1f_1.

    2. Calculer I1I_1.

  2. À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout nn supérieur ou égal à 1,

    In+1=e−(n+1)In I_{n+1} = e - (n + 1)I_n

  3. Calculer I2I_2.

  4. On considère la fonction mystère écrite dans le langage Python : 

    from math import e # la constante d’Euler e

def mystere(n):
    a = 1
    L = [a]
    for i in range(1,n):
        a = e - (i + 1)*a
        L.append(a)
    return L

    À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel mystere(5).

Partie II

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes C1,C2,C3,C_1, C_2, C_3, C10,C20 C_{10}, C_{20} et C30C_{30}.

Bac 2024 sujet 0 Intégrales

    1. Donner une interprétation graphique de InI_n.

    2. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite (In)(I_n)?

  2. Montrer que pour tout nn supérieur ou égal à 1,

    0≤In≤e∫01xndx 0 \leq I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx

  3. En déduire limn→+∞In\lim_{n \to +\infty} I_n.

Corrigé

Partie I

  1. a) Pour vérifier que F1F_1 est une primitive de f1f_1, nous pouvons montrer que F1′(x)=f1(x)F_1^{\prime}(x) = f_1(x).

    Calculons la dérivée de F1(x)F_1(x) en la règle du produit (uv)′=u′v+uv′ (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}  :
    F1′(x)=ex+(x−1)ex F_1^{\prime}(x) = e^x + (x - 1)e^x
    F1′(x)=ex+xex−ex F_1^{\prime}(x) = e^x + xe^x - e^x
    F1′(x)=xex F_1^{\prime}(x) = xe^x

    Or, f1(x)=xex f_1(x) = xe^x , donc F1′(x)=f1(x) F_1^{\prime}(x) = f_1(x) .

    Ainsi, F1(x)=(x−1)ex F_1(x) = (x - 1)e^x est bien une primitive de f1(x)=xex f_1(x) = xe^x .

    b) Utilisons la primitive trouvée pour calculer I1 I_1 :

    I1=∫01xexdx I_1 = \int_{0}^{1} xe^x \, dx

    Comme F1(x)=(x−1)ex F_1(x) = (x - 1)e^x est une primitive de xex xe^x , nous utilisons le théorème fondamental du calcul intégral :

    I1=[(x−1)ex]01 I_1 = [ (x - 1)e^x ]_{0}^{1}

    Calculons cette expression aux bornes 0 et 1 :

    I1=(1−1)e1−(0−1)e0 I_1 = (1 - 1)e^1 - (0 - 1)e^0
    I1=(0×e)−(−1×1) I_1 = (0 \times e) - ( - 1 \times 1)
    I1=0−(−1) I_1 = 0 - ( - 1)
    I1=1 I_1 = 1

  2. Établissons la relation In+1=e−(n+1)In I_{n+1} = e - (n + 1)I_n en utilisant l'intégration par parties.

    Pour cela, considérons les fonctions définies par u(x)=xn+1 u(x) = x^{n+1} et v′(x)=ex v^{\prime}(x) = e^x . Alors, u′(x)=(n+1)xn u^{\prime}(x) = (n+1)x^n et v(x)=ex v(x) = e^x .

    L'intégration par parties nous donne :

    ∫udv=uv−∫vdu \int u \, dv = uv - \int v \, du

    Appliquons ceci à notre intégrale :

    In+1=∫01xn+1exdx I_{n+1} = \int_{0}^{1} x^{n+1} e^x \, dx

    En utilisant les fonctions choisies :

    In+1=[xn+1ex]01−∫01(n+1)xnexdx I_{n+1} = [ x^{n+1} e^x ]_0^1 - \int_{0}^{1} (n+1)x^n e^x \, dx
    In+1=1n+1e1−0n+1e0−(n+1)∫01xnexdx I_{n+1} = 1^{n+1} e^1 - 0^{n+1} e^0 - (n+1) \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx
    In+1=e−0−(n+1)In I_{n+1} = e - 0 - (n+1)I_n
    In+1=e−(n+1)In I_{n+1} = e - (n+1)I_n

  3. Calculons I2 I_2 en utilisant la relation trouvée :

    I2=e−2I1 I_2 = e - 2I_1

    Nous savons que I1=1 I_1 = 1 , donc :

    I2=e−2×1 I_2 = e - 2 \times 1
    I2=e−2 I_2 = e - 2

  4. La fonction mystere renvoie une liste comprenant les nn premiers termes d'une suite dont le premier terme est égal à 1 et qui vérifie la relation de récurrence un+1=e−(n+1)unu_{n+1} = e - (n + 1) u_n.

    D'après les questions précédentes, on voit que cette suite n'est autre que la suite (In)(I_n).

    L'appel mystere(5) renvoie donc la liste des valeurs [I1,I2,I3,I4,I5][I_1, I_2, I_3, I_4, I_5] (le terme I1 I_ 1 est donné lors de l'initialisation et les 4 termes suivants sont calculés dans la boucle for).

Partie II

    1. Toutes les fonctions fnf_n sont positives sur l'intervalle [0;1][0; 1].
      Les intégrales InI_n représentent donc l'aire (en unité d'aire) située entre la courbe CnC_n et l'axe des abscisses pour xx compris entre 0 et 1.

    2. Ces aires semblent tendre vers 0 lorsque nn tend vers +∞ +\infty .
      Par conséquent, on peut conjecturer que la suite (In)(I_n) converge vers 0.

  2. Sachant que pour xx dans l'intervalle [0,1][0, 1], ex≤ee^x \leq e (car la fonction exponentielle est croissante), nous avons :

    xnex≤xne x^n e^x \leq x^n e

    En intégrant les deux membres sur [0,1][0, 1] :

    ∫01xnexdx≤∫01xnedx \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx \leq \int_{0}^{1} x^n e \, dx

    Cela donne :

    In≤e∫01xndx I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx

    Puisque l'intégrale d'une fonction positive est positive, nous avons aussi :

    0≤In 0 \leq I_n

    Ainsi, nous obtenons :

    0≤In≤e∫01xndx 0 \leq I_n \leq e \int_{0}^{1} x^n \, dx

  3. Calculons ∫01xndx\int_{0}^{1} x^n \, dx :

    ∫01xndx=[xn+1n+1]01=1n+1 \int_{0}^{1} x^n \, dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{n+1}

    Donc :

    e∫01xndx=e×1n+1=en+1 e \int_{0}^{1} x^n \, dx = e \times \frac{1}{n+1} = \frac{e}{n+1}

    Ainsi :

    0≤In≤en+1 0 \leq I_n \leq \frac{e}{n+1}

    Lorsque nn tend vers l'infini, en+1\frac{e}{n+1} tend vers 0.

    Par le théorème des gendarmes, nous avons donc :

    limn→+∞In=0 \lim_{n \to +\infty} I_n = 0

    La suite (In)(I_n) converge donc vers 0.

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