Problème récapitulatif sur les suites

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0= \dfrac{ 1 }{ 2 }$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \dfrac{ 2u_n }{u_n+1 }$

Partie A

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
On considère la fonction $f$ définie sur $] - 1;+\infty [$ par :
$f(x)= \dfrac{ 2x }{x+1 }$
Etudier les variations de la fonction $f$ sur $] - 1;+\infty [$ .
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté la droite $d$ d'équation $y=x$ et la courbe $\mathscr{C_f}$ représentative de $f$ .

$Fonction$
1. Construire, sur ce graphique, les points $A_0, ~A_1$ et $A_2$ situés sur l'axe des abscisses et dont les abscisses sont respecivement $u_0,~u_1$ et $u_2$ (Laisser apparents les traits de construction).
2. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $(u_n)$ .

Partie B

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
  $\frac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$
2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
On définit la suite $( v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par :
$v_n= \frac{ 1 }{ u_n } - 1$
1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Déterminer, pour tout entier naturel $n$ , l’expression de $v_n$ puis l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$ .

Partie C

Soit $a$ un réel strictement positif.
Expliquer pourquoi il existe un entier naturel $p$ tel que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $p$ : $1 - u_n < a$ .
Compléter la fonction Python ci-dessous pour qu'elle retourne la plus petite valeur de $n$ telle que $1 - u_n < a$ où $a$ est un réel strictement positif passé en argument.
```
def rang(a) :
   u = 1/2
   n = 0
   while ...
      u = ...
      n = ...
   return ...
```

Corrigé

Partie A

$u_{1}=\dfrac{2u_{0}}{u_{0}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}$ $=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}$

$u_{2}=\dfrac{2u_{1}}{u_{1}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}+1}$ $=\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{4}{3}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5}$
La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] - 1;+\infty [$ et =

$f^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{2\left( x+1\right) - 2x}{\left( x+1\right) ^{2}}=\dfrac{2}{\left( x+1\right) ^{2}}$ .

$f^{\prime}$ est strictement positive sur l'intervalle $] - 1;+\infty [$ donc $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.
1. $Fonction$
2. La suite $(u_n)$ semble croissante et convergente vers $1$ .

Partie B

1. Initialisation.
  
  Montrons que $\frac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 1$ .
  $u_0 = \frac{ 1 }{ 2 }$ et $u_1 = \frac{ 4 }{ 5 }$ .
  
  Comme $\frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \frac{ 1 }{ 2 } \leqslant \frac{ 4 }{ 5 } \leqslant 1$ , la propriété est vraie au rang 0.
  
  Hérédité.
  
  Supposons que la propriété $\frac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$ est vraie pour un certain entier naturel $n$ et démontrons que la propriété est alors vraie au rang $n+1$ .
  
  Si $\frac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$ , alors comme $f$ est croissante sur $] - 1;+\infty [$ :
  
  $f\left( \dfrac{1}{2}\right) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1)$
  
  Or $f\left( \dfrac{1}{2}\right) = \frac{ 4 }{ 5 }$ , $f(u_n)=u_{n+1}$ , $f(u_{n+1} ) = u_{n+2}$ et $f(1)=1$ donc :
  
  $\dfrac{4}{5} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1$
  
  et comme $\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{4}{5}$ :
  
  $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1$
  
  donc la propriété est vraie au rang $n+1$ .
  
  Conclusion.
  
  La propriété $\frac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$ est vraie au rang $0$ et est héréditaire ; par conséquent, elle est vraie pour tout entier naturel $n$ .
2. D'après la question précédente, la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$ , donc est convergente (voir: Théorème de convergence monotone).
1. Pour montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique on va montrer qu'il existe une constante $q$ telle que, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1} = v_n \times q$ .
  
  $\begin{aligned}v_{n+1}&=\dfrac{1}{u_{n+1}} - 1\\ \\ &=\dfrac{1}{\dfrac{2u_{n}}{u_{n}+1}} - 1\\ \\ &=\dfrac{u_{n}+1}{2u_{n}} - 1\\ \\ &=\dfrac{u_{n}+1 - 2u_{n}}{2u_{n}}\\ \\ &=\dfrac{1 - u_{n}}{2u_{n}}\\ \\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1 - u_{n}}{u_{n}}\right) \\ \\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{u _{n}} - \dfrac{u _{n}}{u _{n}}\right) \\ \\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{u_{n}} - 1\right) \\ \\ &=\dfrac{1}{2}v_{n}\end{aligned}$
  
  donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q= \frac{ 1 }{ 2 }$ .
  Son premier terme est $v_0= \frac{ 1 }{ u_0 } - 1 = 2 - 1 = 1$ .
2. On en déduit que, pour tout entier naturel $n$ :
  $v_n = v_0q^n= \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^n = \frac{ 1 }{ 2^n }$ .
  
  De la relation $v_n= \frac{ 1 }{ u_n } - 1$ on déduit :
  
  $\frac{ 1 }{ u_n } = v_n + 1$
  $u_n = \frac{ 1 }{ v_n + 1 }$
  
  donc :
  $\begin{aligned} u_n&=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^{n}}+1}\\ \\ u_n&=\dfrac{1}{\dfrac{1+2^{n}}{2^{n}}}\\ \\ u_n&=\dfrac{2^{n}}{1+2^n}\end{aligned}$
3. Comme $- 1 < \frac{ 1 }{ 2 } < 1$ :
  $\lim _{n\rightarrow +\infty }v_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{n}=0$ (voir : Limite d'une suite géométrique).
  
  Comme $u_n = \frac{ 1 }{ v_n + 1 }$ on en déduit (par somme et par quotient) que la suite $(u_n)$ converge vers $\frac{ 1 }{ 0+1 } = 1$ .

Partie C

Soit $a>0$ .
D'après la définition de la limite, dire que la suite $(u_n)$ converge vers 1 signifie qu'il existe un entier naturel $p$ à partir duquel :
$- a < u_n - 1 < a$ pour tout entier naturel $n \geqslant p$ .

Or, l'inégalité $- a < u_n - 1$ est équivalente à $1 - u_n < a$ .

def rang(a) :
   u = 1/2
   n = 0
   while 1-u >= a
      u = 2*u/(u+1)
      n = n+1
   return n

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