Croissance d'une suite

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

$\left\{ \begin{matrix} u_{0}=2 \\ u_{n+1} =\frac{1}{2}u_{n}^{2}+1\end{matrix}\right.$

Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$ . Quel semble être le sens de variation de cette suite ?
Première méthode. Etudier le sens de variations de la fonction $f : x\mapsto \frac{1}{2}x^{2}+1$ sur $\left[0; +\infty \right[$ .

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
Deuxième méthode. Calculer et étudier le signe de $u_{n+1} - u_{n}$ .

Retrouver le résultat de la question 2.

Corrigé