1. Polynômes du second degré
Définition
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c
où a, b et c sont des réels avec a \neq 0
Exemples
P\left(x\right)=2x^{2}+3x-5 est un polynôme du second degré.
P\left(x\right)=x^{2}-1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q\left(x\right)=x-1 n’en est pas un car a n’est pas différent de zéro : c’est un polynôme du premier degré (ou une fonction affine)
P\left(x\right)=5\left(x-1\right)\left(3-2x\right) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.
Théorème et définition
Tout polynôme du second degré peut s’écrire sous la forme :
P\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2}+ \beta
avec \alpha =-\frac{b}{2a} et \beta =P\left(\alpha \right)
Cette expression s’appelle forme canonique du polynôme P.
Exemple
Soit P\left(x\right)=2x^{2}+4x+5
\alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\times 2}=-1
\beta =P\left(\alpha \right)=P\left(-1\right)=2\times \left(-1\right)^{2}+4\times \left(-1\right)+5=2-4+5=3
La forme canonique de P\left(x\right) est donc :
P\left(x\right)=2\left(x+1\right)^{2}+3
2. Equations du second degré
Définition
On appelle racine d’un polynôme P\left(x\right) une solution de l’équation P\left(x\right)=0
Remarque
Ne pas confondre les mots « racine » et « racine carrée » !
Définition
On appelle discriminant du polynôme P\left(x\right)=ax^{2}+bx+c le nombre :
Théorème
Si \Delta > 0, le polynôme P admet deux racines distinctes : x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} et x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}
Si \Delta =0, le polynôme P admet une racine unique : x_{0}=\frac{-b}{2a}
Si \Delta < 0, le polynôme P n’admet aucune racine réelle.
Exemples
P_{1}\left(x\right)=-x^{2}+3x-2
\Delta =9-4\times \left(-1\right)\times \left(-2\right)=1
P_{1} possède 2 racines :
x_{1}=\frac{-3-1}{-2}=2 et x_{2}=\frac{-3+1}{-2}=1
P_{2}\left(x\right)=x^{2}-4x+4
\Delta =16-4\times 1\times 4=0
P_{2} possède une seule racine :
x_{0}=-\frac{-4}{2}=2
P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1
\Delta =1-4\times 1\times 1=-3
P_{3} ne possède aucune racine.
3. Inéquations du second degré
Théorème
Soit P(x) un trinôme du second degré de discriminant \Delta .
Si \Delta > 0 : P\left(x\right) est du signe de a à l’extérieur des racines (c’est à dire si x < x_{1} ou x > x_{2} ) et du signe opposé entre les racines (si x_{1} < x < x_{2}).
Si \Delta =0 : P\left(x\right) est toujours du signe de a sauf en x_{0} (où il s’annule).
Si \Delta < 0 : P\left(x\right) est toujours du signe de a.
Exemples
Si l’on reprend les exemples précédents :
P_{1}\left(x\right)=-x^{2}+3x-2 :
\Delta > 0 et a < 0.
P_{2}\left(x\right)=x^{2}-4x+4 :
\Delta =0 et a > 0.
P_{3}\left(x\right)=x^{2}+x+1 :
\Delta < 0 et a > 0.
4. Interprétation graphique
On rappelle que les solutions de l’équation f\left(x\right)=0 sont les abscisses des points d’intersection de la courbe C_{f} et de l’axe des abscisses.
En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :
