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Suite et récurrence - Exercice de synthèse

Soit la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=2u_{0}=2 et un+1=2un+3un+4u_{n+1}=\frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}

  1. Montrer que pour tout entier n∈Nn\in \mathbb{N}, un+1=2−5un+4u_{n+1}=2 - \frac{5}{u_{n}+4}

  2. Montrer par récurrence que pour tout entier n∈Nn\in \mathbb{N}, 1⩽un⩽21\leqslant u_{n} \leqslant 2

  3. Quel est le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n}\right)?

  4. Montrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente.

  5. Soit ll la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right). Déterminer une équation dont ll est solution et en déduire la valeur de ll.

Corrigé

  1. Méthode : On part de 2−5un+42 - \frac{5}{u_{n}+4} et on réduit au même dénominateur

    2−5un+4=2(un+4)un+4−5un+4=2un+8−5un+4=2un+3un+4=un+12 - \frac{5}{u_{n}+4} = \frac{2\left(u_{n}+4\right)}{u_{n}+4} - \frac{5}{u_{n}+4} = \frac{2u_{n}+8 - 5}{u_{n}+4} = \frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} = u_{n+1}

  2. Initialisation : u0=2u_{0}=2 donc 1⩽u0⩽21\leqslant u_{0} \leqslant 2
    La propriété est vraie au rang 0.

    Hérédité : On suppose que pour un certain entier nn : 1⩽un⩽21\leqslant u_{n} \leqslant 2 (Hypothèse de récurrence) et on va montrer que 1⩽un+1⩽21\leqslant u_{n+1} \leqslant 2

    1⩽un⩽21\leqslant u_{n} \leqslant 2 donc :

    5⩽un+4⩽65\leqslant u_{n}+4 \leqslant 6

    On inverse chaque membre :

    16⩽1un+4⩽15\frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{u_{n}+4} \leqslant \frac{1}{5} car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[

    On multiplie chaque membre par −5 - 5 (on change une nouvelle fois le sens car −5 - 5 est négatif)

    −55⩽−5un+4⩽−56 - \frac{5}{5}\leqslant - \frac{5}{u_{n}+4} \leqslant - \frac{5}{6}

    Enfin on ajoute 22 à chaque membre :

    2−1⩽2−5un+4⩽2−562 - 1\leqslant 2 - \frac{5}{u_{n}+4} \leqslant 2 - \frac{5}{6}

    1⩽un+1⩽761\leqslant u_{n+1} \leqslant \frac{7}{6}

    Or 76<2\frac{7}{6} < 2 donc on a bien :

    1⩽un+1⩽21\leqslant u_{n+1} \leqslant 2 ce qui montre la propriété par récurrence.

    Conclusion : Pour tout entier n∈Nn\in \mathbb{N}, 1⩽un⩽21\leqslant u_{n} \leqslant 2

  3. un+1−un=2un+3un+4−un=2un+3un+4−un(un+4)un+4=2un+3−un2−4unun+4u_{n+1} - u_{n} = \frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} - u_{n} = \frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} - \frac{u_{n}\left(u_{n}+4\right)}{u_{n}+4} = \frac{2u_{n}+3 - u_{n}^{2} - 4u_{n}}{u_{n}+4}

    un+1−un=−un2−2un+3un+4u_{n+1} - u_{n}=\frac{ - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3}{u_{n}+4}

    On étudie le signe de −un2−2un+3 - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3 qui est un polynôme du second degré en unu_{n}

    Δ=(−2)2−4×(−1)×3=16\Delta =\left( - 2\right)^{2} - 4\times \left( - 1\right)\times 3=16

    Le polynôme possède donc 2 racines :

    x1=2−4−2=1x_{1}=\frac{2 - 4}{ - 2}=1 et x2=2+4−2=−3x_{2}=\frac{2+4}{ - 2}= - 3

    −un2−2un+3 - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3 est donc négatif ou nul si un∈]−∞;−3]∪[1;+∞[u_{n} \in \left] - \infty ; - 3\right] \cup \left[1;+\infty \right[

    et positif ou nul si un∈[−3;1]u_{n} \in \left[ - 3;1\right].

    Or d'après la question précédente 1⩽un⩽21\leqslant u_{n} \leqslant 2 donc −un2−2un+3 - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3 est négatif ou nul pour tout entier n∈Nn\in \mathbb{N}

    Par ailleurs, comme un⩾1u_{n} \geqslant 1, un+4u_{n}+4 est strictement positif donc :

    un+1−un=−un2−2un+3un+4⩽0u_{n+1} - u_{n} = \frac{ - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3}{u_{n}+4} \leqslant 0

    La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc décroissante

  4. La suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante et minorée par 1 donc elle est convergente (voir théorème)

  5. Méthode : On fait tendre nn vers +∞+\infty dans chaque membre de l'égalité un+1=2un+3un+4u_{n+1}=\frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}

    Si limn→+∞un=l\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l alors :

    limn→+∞un+1=l\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n+1}=l

    et :

    limn→+∞2un+3un+4=2l+3l+4\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}=\frac{2l+3}{l+4}

    Comme un+1=2un+3un+4u_{n+1}=\frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}, par passage à la limite :

    l=2l+3l+4l=\frac{2l+3}{l+4}

    c'est à dire

    l(l+4)=(2l+3)l\left(l+4\right)=\left(2l+3\right)

    l2+4l−2l−3=0l^{2}+4l - 2l - 3=0

    l2+2l−3=0l^{2}+2l - 3=0

    Cette équation (équivalente à celle résolue plus haut) possède deux solutions : 11 et −3 - 3.

    Comme 1⩽un⩽21 \leqslant u_{n} \leqslant 2 la limite ne peut pas être égale à −3 - 3 donc l=1l=1.

    En conclusion limn→+∞un=1\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=1

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