Déterminer l'expression d'un terme d'une suite en fonction de n

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}$

Le but de cet exercice est de déterminer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$ .

On utilisera une méthode différente dans chacune des parties.

Première méthode : Raisonnement par récurrence

Calculer les valeurs de $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ .
Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .
Démontrer, par récurrence, la conjecture faite à la question précédente.

Pour tout entier naturel

n

, on pose

v_n=\dfrac{1}{u_n}

Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison.
En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$ .

Pour montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique, montrons que $v_{n+1} - v_n$ est constant.

D'après l'énoncé, pour tout entier naturel $n$ :

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{u_{n+1}} - \dfrac{1}{u_n}$

$\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{1}{u_n/(u_n+1)} - \dfrac{1}{u_n}$

$\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{u_n+1}{u_n} - \dfrac{1}{u_n}$

$\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{u_n}{u_n} = 1.$

La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=1$ .

Son premier terme est :
$v_0=\dfrac{1}{u_0}=1.$
On en déduit donc que pour tout entier naturel $n$ :

$v_n=v_0+nr=1+n.$

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{n+1}.$