Déterminer l’expression d’un terme d’une suite en fonction de n
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Exercices
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :
Le but de cet exercice est de déterminer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$.
On utilisera une méthode différente dans chacune des parties.
Première méthode : Raisonnement par récurrence
- Calculer les valeurs de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. - Démontrer, par récurrence, la conjecture faite à la question précédente.
Deuxième méthode : utilisation d'une suite annexe
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{1}{u_n}$.
- Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison.
- En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
Première méthode : Raisonnement par récurrence
On calcule les premiers termes :
$u_1 =\dfrac{u_0}{u_0+1}= \dfrac{1}{2}$
$u_2 =\dfrac{u_1}{u_1+1}= \dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac{1}{3}$
$u_3 =\dfrac{u_2}{u_2+1}= \dfrac{1/3}{4/3}=\dfrac{1}{4}$
$u_4 =\dfrac{u_3}{u_3+1}= \dfrac{1/4}{5/4}=\dfrac{1}{5}$Les résultats précédents laissent présager que pour tout entier naturel $n$ :
$u_n=\dfrac{1}{n+1}$Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.
Initialisation :
$u_0=1=\dfrac{1}{0+1}$
La propriété est donc vraie au rang $0$.Hérédité :
Supposons que, pour un certain entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{n+1}$ (hypothèse de récurrence) et montrons que $u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}$.
$u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}$ (d'après l'énoncé)
$\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{1+1/(n+1)}$ (hypothèse de récurrence)
$\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{(n+1)/(n+1)+1/(n+1)}$
$\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{(n+2)/(n+1)}$
$\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{n+2}$
La propriété est donc héréditaire.Conclusion :
D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ :$\mathbf{u_n=\dfrac{1}{n+1}}$
Deuxième méthode : utilisation d'une suite annexe
Pour montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique, calculons $v_{n+1} - v_n$.
D'après l'énoncé, pour tout entier naturel $n$ :
$v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{u_{n+1}} - \dfrac{1}{u_n}$
$\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{1}{u_n/(u_n+1)} - \dfrac{1}{u_n}$
$\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{u_n+1}{u_n} - \dfrac{1}{u_n}$
$\phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{u_n}{u_n} = 1$
La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=1$.Son premier terme est :
$v_0=\dfrac{1}{u_0}=1$- On en déduit que pour tout entier naturel $n$ :
$v_n=v_0+nr=1+n$
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $\mathbf{u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{n+1}}$.