Suites - Bac S Métropole 2013

Exercice 4 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$ ,

$u_{n+1}=\frac{2}{3}u_{n}+\frac{1}{3}n+1.$

1. Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$ . On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{ - 2}$ près.
2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ ,
  $u_{n} \leqslant n+3.$
2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ ,
  $u_{n+1} - u_{n}=\frac{1}{3} \left(n+3 - u_{n}\right).$
3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n}=u_{n} - n$ .
1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel $n$ ,
  $u_{n}=2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+n$
3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose:
$S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+. . .+u_{n}$
et
$T_{n}=\frac{S_{n}}{n^{2}}.$
1. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ .
2. Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$ .